Kurvendiskussion richtig durchgeführt?

Question

Wenn da paar Fehler sind, bitte bemerken wäre echt super :))

Answer 1

Du hast dort zwei Sattelpunkte drin.

Für einen Sattelpunkt gilt:

f '(x)=0

f ''(x)=0

f '''(x)≠0

Dies trifft auf x1=0 und x2= -2 zu.

Dort gibt es dann weder Extrema noch Wendepunkte, sondern den sogenannten Sattelpunkt.

Dein anderer errechneter Wendepunkt bei x = -1 stimmt jedoch.

Die Funktion hat also keine Extrema, 2 Sattelpunkte bei (0|0) und (-2|-16/15) und einen Wendepunkte bei

(-1| -8/15)

Übrigens ist bei einer dreifachen Nullstelle, wie du sie richtig ausgerechnet hast, auch immer ein Sattelpunkt.

~plot~0,2x^5+x^4+4/3x^3~plot~

Comments

Aber Sattel-Wende & Terassenpunkt ist doch das gleiche oder? Und ich habe dazu geschr. Dass es sich um Wendepunkte handelt , das müsste reichen, oder gebe es da nicht die volle Punktzahl?

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Die Sattelpunkte erfüllen zwar das notwendige und hinreichende Kriterium für Wendepunkte, allerdings ist die Steigung im Sattelpunkt auch 0 wegen Bedingung f '(x)=0.

Für eine volle Punktzahl würde ich an deiner Stelle lieber schreiben dass es sich an den Stellen um Sattelpunkte handelt.

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Sattelpunkte sind natürlich (besondere) Wendepunkte.

Wenn in der Aufgabenstellung die Steigung der Wendetangenten nicht ausdrücklich verlangt ist, reicht die Angabe der 3 Wendepunkte bei einer Kurvendiskussion.

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Also ab 3 Nullstellen handelt es sich um Sattelpunkte? Und bei 2 Nullstellen nicht?

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Nein. Wenn du eine dreifache Nullstelle hast, ist diese Nullstelle gleichzeitig Sattelpunkt.

Du hast ja selbst bei den Nullstellen geschrieben:

x1=0  x2=0   x3=0. Das bedeutet dass dort dann eine sogenannte dreifache Nullstelle und somit gleichzeitig ein Sattelpunkt vorliegt.

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Achso dh. Hätte ich zb. X1=1 , X2=1und X3=1 wäre das auch ein Sattelpkt? Also ab 3 gleichen Nullstellen und unter 3 Nullstellen mit der gleichen Zahl, sind einfach nur Wende bzw. Terassenpunkte?

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Ja bei deinem Beispiel wäre das auch ein Sattelpunkt. Was meinst du mit unter drei Nullstellen mit der gleichen Zahl?

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Also ab 3 gleichen Zahlen also Nullstellen (Xer) sowie X1= 2 , X2= 2, X3= 2 wäre das ein sattelpkt oder? Wenn das zb so aussehen würde x1= 1, x2= 4, x3= 5 wäre das ja kein sattelpkt , da es verschiedene Zahlen hat also ab 3 gleichen Nullstellen liegt ein Sattelpunkt vor und alles unter also zb zwei gleiche Nullstellen x1=1, x2=1 wäre ein wendepunkt?  ( sorry die schlechte formulierung :D)

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Ja richtig. Nur den letzten Satz mit dem Wendepunkt musst du streichen. Da eine doppelte Nullstelle die x-Achse nur berührt und nicht schneidet, liegt dort ein lokales Extremum und kein Wendepunkt vor.

Answer 2

das kannst Du mit diesem Tool selbst überprüfen:

http://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion/

Answer 3

vielleicht machst du dir das einfach an folgenden Beispielen klar. Alle Funktionen haben die Nullstelle x=0:

f(x) = x  ,    1-fache Nullstelle

f(x) = x²  ,  2-fache Nullstelle ,  Extempunkt

(x) = x³  ,  3-fache Nullstelle ,  Sattelpunkt  (Wendepunkt mit waagrechter (Tangente)

f(x) = x⁴  ,  4-fache Nullstelle ,  Extempunkt

f(x) = x⁵  ,  5-fache Nullstelle , Sattelpunkt   

....

Gruß Wolfgang