z1 = 3√ ( r, φ) ist eine Wurzel der Zahl (r,φ). Zeige, dass die weiteren Wurzeln gleich z2 = w * z1 und z3 = w2 * z1 sind, wobei w = -0,5 + 0,5 * √3 * i ist.
z1 = 3√ ( r, φ) ist eine Wurzel der Zahl (r,φ). also z1^3 = (r,φ).
z2 = w * z1 also müsste auch z2 ^3 = (r,φ) sein. Dazu muss w^3 = 1 sein.
Dem ist so
w^3 = ( -0,5 + 0,5 * √3 * i ) ^3
= -0,125 + 3*(- 0,5)^2 * 0,5 * √3 * i + 3* (-0,5) * ( 0,5 * √3 * i ))^2 +( 0,5 * √3 * i )^3
= -0,125 + 0,75 * 0,5 * √3 * i - 1,5 * 0,25 * 3 * (-1) + 0,125 *3* √3 * i (-1)
= -0,125 + 0,375 * √3 * i +1,125 - 0,375 * √3 * i
= 1 PASST !
und w^2 hoch 3 ist dann w^6 natürlich auch = 1.
