Freizeitbad Lineare Funktion

Question

Ich vier Fragen zu der AufgabeEin Freizeitbad verzeichnet bei einem Eintrittspreis von 12 Euro durchschnittlich 360 Besucher je Öffnungstag.

Der Betreiber denkt über eine Anhebung des Preises nach, um die Einnahmen zu erhöhen. Es gibt jedoch auch Überlegungen den Preis zu senken, da dies mehr zahlende Besucher anlocken würde.

Umfragen bei den Freizeitbad-Besuchern ergeben, dass eine Anhebung des Eintrittspreises um 2 euro zu einer abnahme der zahlenden Besucher um durchschnittlich 80 Personen je Öffungstag führen würde. Umgekehrt ließe eine Preissenkung um 2 Euro einen Anstieg der Besucherzahl in gleicher Größe erwarten.

Für die Bearbeitung der nachfolgenden Aufgabenstellungen gelten diese annahmen: Die Besucherzahl steigt linear mit der Preissenkung bzw. fällt linear mit dem Preisanstieg. Für die zu bestimmende maximale Besucheranzahl sind die Kapazitäten des Parks ausreichend. Die Einnahmen wiederum ergeben sich aus Eintrittspreis mal Besucherzahl. 


2) Beschreiben Sie die Besucherzahl y in Abhängigkeit vom Eintrittspreis x als lineare Funktion: Y= f(x) =mx+ b

3) Bestimmen Sie die maximale Besucherzahl, die sich aus den Vorgaben bei freiem Eintritt ergibt, sowie den Grenzpreis, bei welchem unter den gegebenen Annahmen keine Besucher kommen würden.

4)Beschreiben Sie die einnahmen E in Abhängigkeit vom Eintrittspreis x als quadratische Funktion: E(x) =ax²+bx

5) Bestimmen Sie rechnerisch den optimalen Eintrittspreis, bei welchem maximale Einnahmen erzielt werden. Wie viele Besucher wären bei diesem Preis täglich zu erwarten und wie hoch sind die maximalen Tageseinnahmen?

Answer 1

Hi!

Du hast ja schonmal den Punkt

(12|360)-> bei 12 Euro kommen 360 Menschen

Packst du 2 Euro drauf, kommen 80 Leute weniger also

zweiter Punkt. (14|280)

Da es eine lineare Gleichung ist, reichen zwei Punkt für die Bestimmung der FUnktionsgleichung:

m= (280-360)/(14-12)= -40

y= -40x+b

Jetzt noch einen dder Punkte eingeben:

360= -40*12+b

360= -480+b      |+480

840=b

ALSO:

f(x)= -40x+840

b.)

Freier Eintritt -> x=0

f(0)= -40*0+840 =840

A: Es würden 840 Gäste kommen.

Grenzpreis -> y=0

0= -40x+840   |+40x

40x=840          | :40

x=21

A: Bei einem Preis von 21 Talern würde niemand mehr kommen.

c.)

E(x) =ax²+bx 

P1(12|360*12)

P2(14|280*14)

In E einsetzen:

4320=144a+12b

3920=196a+14b

LGS lösen:

a= -40 

b=840

f(x)= -40x²+840x

d.) Scheitelpunkt berechnen mit ABleitung oder Scheitelpunktform:

ABleitung:

f '(x)= -80x+840=0      |+80x

        840=80x            | :80 

         10,5=x

A: Ein Eintrittspreis von 10,5 Euro würde maximale Einnahmen bringen.

Wie viele Besucher wären bei diesem Preis täglich zu erwarten und wie hoch sind die maximalen Tageseinnahmen?

Hier müssen wir zuerst 10,5 in unsere erste Funktion einsetzen:

f(x)= -40x+840

f(10,5)= -40*10,5+840  =420 Besucher

Tageseinnahmen: 10,5*420=4410

Answer 2

2)

f(x) = - 80/2·(x - 12) + 360 = 840 - 40·x

3)

f(0) = 840 Besucher

f(x) = 0

840 - 40·x = 0 --> x = 21 €

4)

E(x) = x·f(x) = 840·x - 40·x^2

5)

E'(x) = 840 - 80·x = 0 --> x = 10.5 €

f(10.5) = 420 Besucher

E(10.5) = 4410 €