verlängert man die Diagonale einer Raute

Question

Verlängert man die eine Diagonale einer Raute um 6 cm und verkürzt die andere um 2 cm, so entsteht eine Raute mit gleicher Seitenlänge aber einen um 40 cm2 größeren Flächeninhalt. Berechne (1) die Längen der Diagonalen, (2) die Seitenlänge der ursprünglichen Raute!

Answer 1

Verlängert man die eine Diagonale einer Raute um 6 cm und verkürzt die andere um 2 cm, so entsteht eine Raute mit gleicher Seitenlänge aber einen um 40 cm2 größeren Flächeninhalt. Berechne (1) die Längen der Diagonalen, (2) die Seitenlänge der ursprünglichen Raute!

vorher  A1 = e*f/2    nachher   A2 = (e+6)(f-2)/2 

e*f/2 +40 = (e+6)(f-2)/2   gibt e = 3f - 46     #

und gleiche Seitenlänge heißt mit Pythagoras in beiden Rauten

(e/2)^2 + (f/2)^2 = ((e+6)/2)^2 + ((f-2)/2)^2 gibt 4f-12e=40 also f=3e+10

dann in # einsetzen   gibt e=2 und dann f=16

Answer 2

1/2 · (d₁+6) · (d₂-2) = 1/2 · d₁·d₂ + 40

(d₁/2)² + (d₂/2)² =  ((d₁+6)/2)² + ((d₂-2)/2)²

Löse das Gleichungssystem um die Längen d₁ und d₂ der Diagonalen zu bestimmen. Die Seiten habe die Länge √((d₁/2)² + (d₂/2)²).

Answer 3

Die Diagonalen der kleineren Raute sind d und e. Dann ist deren Fläche de/2.
Die Diagonalen der größeren Raute sind d+6 und e-2. Dann ist deren Fläche (d+6)(e-2)/2.
Erste Gleichung de/2+40=(d+6)(e-2)/2. vereinfacht zu de+80=(d+6)(e-2)
Nach Pythagoras gilt (d/2)²+(e/2)²=((d+6)/2)²+((e-2)/2)²
oder  zweite Gleichung d²+e²=(d+6)²+(e-2)²
damt sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gewonnen, mit den Lösungen d=2 und e=16. Die Seitenlänge ist dann √65.