Wie kann man die Symmetrie einerFunktion bestimmen?

Question

Hallo wie bestimme ich die Symmetrie (Kurvendiskussion) und ist es notwendig, es aufzuschreiben in der Kurvendiskussion? Und wenn ja kann man es nur an den Exponenten sagen? Also dass sie zB gerade sind und daher eine Symmetrie vorliegt? 

Comments

Schau für die Anschauung auch mal noch hier rein:

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=k3phlEIcd4Q 

Answer 1

> wie bestimme ich die Symmetrie

Punktsymmetrie zum Ursprung: f(-x) = -f(x)

Achsensymmetrie zur y-Achse: f(-x) = f(x)

Beispiel 1. f(x) = 3x³ + 5x

Es ist f(-x) = 3·(-x)³ + 5·(-x)  = -3x³ - 5x = -(3x³ + 5x) = -f(x). Also ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

Beispiel 2. f(x) = 3x⁴ + 5x² + 1

Es ist f(-x) = 3(-x)⁴ + 5(-x)² + 1 = 3x⁴ + 5x² + 1. Also ist die Funktion achsensymmterisch zur y-Achse.

Beispiel 3. f(x) = 3x² + 5x

Es ist f(1)  = 3·1² + 5·1 = 8 und f(-1) = 3·(-1)² + 5·(-1) = 3-5 = -2. Also ist die Funktion weder punktsymmetrisch zum Ursprung, noch achsensymmterisch zur y-Achse.

> ist es notwendig, es aufzuschreiben in der Kurvendiskussion

Frage deinen Lehrer.

> kann man es nur an den Exponenten sagen?

Nein, man kann auch auf obige Definition zurückgreifen, wie ich das in den Beispielen gemacht habe. Für den speziellen Fall, dass man eine ganzrationale  Funktion vor sich hat, kann man auch folgendes heranziehen:

Eine ganzrationale Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung genau dann wenn alle Exponenten ungerade sind und achsensymmetrisch zur y-Achse genau dann wenn alle Exponenten gerade sind.

Answer 2

Hallo wie bestimme ich die Symmetrie (Kurvendiskussion) und ist es notwendig, es aufzuschreiben in der Kurvendiskussion? Und wenn ja kann man es nur an den Exponenten sagen? Also dass sie zB gerade sind und daher eine Symmetrie vorliegt?

achsensymmetrie zur y-Achse heißt  f(-x) = - f(x)  das gilt z.B. auch bei cos(x) also auch wenn

nichts mit Exponenten zu machen ist

Symmetrie zum Nullpunkt  f( -x) = - f(x)   zum Beispiel auch bei f(x) = x^3 / ( x^2 +2)

da ist f( -x) =( - x)^3 /( ( -x)^2 + 2) = -x^3 / (x^2 + 2 ) = - f(x) also Sym. vorhanden.