Sei A((1002)(2100)(3210)(4321)). Berechnen Sie die Determinante von A und die Zahl A^{-1}23.

Question

Sei

\( A=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right) \)

a) Berechnen Sie die Determinante von A.

b) Berechnen Sie die Zahl (A^-1)₂₃ mit Hilfe des folgenden Satzes.

Satz 20.1.2 (Anwendung zur Berechnung der inversen Matrix) Sei \( A \in M(n, n, K) \). Dann hat \( A \) genau dann eine Inverse, wenn det \( A \neq 0 . \) In diesem Fall gilt:
\( A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A}\left(\begin{array}{ccc} (-1)^{1+1} \operatorname{det}\left(A_{11}^{\prime}\right) & \ldots & (-1)^{1+n} \operatorname{det}\left(A_{n 1}^{\prime}\right) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ (-1)^{n+1} \operatorname{det}\left(A_{1 n}^{\prime}\right) & \ldots & (-1)^{n+n} \operatorname{det}\left(A_{n n}^{\prime}\right) \end{array}\right) \)
Elementare Zeilentransformationen einer Matrix:
(Z1) Multiplikation der \( i \) -ten Zeile mit \( \lambda \neq 0 \).
(Z2) Addition des \( \lambda \) -fachen der \( i \) -ten Zeile zur \( k \) -ten Zeile mit \( i \neq k \).

Answer 1

a) Berechnen Sie die Determinante von A.

Ich berechne die Determinante nach der ersten Zeile:

1 * det([1,0,0;2,1,0;3,2,1]) - 2 * det([2,1,0;3,2,1;4,3,2])
= 1 * 1 - 2 * 0
= 1

b)

A^{-1}₂₃ = 1/1 * (- det([1,0,2;2,0,0;4,2,1])) = -8