Norm beweisen (Ableitung)

Question

Wie geht man hier vor

||| f |||= | f(0) | + sup_(x Element [0,1]) | f ' (x) | 

Sollte man beide Teilnormen einzeln beweisen oder wie würde das sonst funktionieren. Ein Lösungsansatz wäre super 

Answer 1

Definitheit ist doch wohl klar, rechts kommt nix negatives vor.

abs. Homogenität

|||a*f ||| = | a*f(0) | + sup_{x Element [0,1]} |(a*f) ' (x) |

           = | a|* | f(0) | + sup_{x Element [0,1]} |a*f ' (x) |  denn Abl von a f ist a f '

            = | a|* | f(0) | + sup_{x Element [0,1]} (|a|*| f ' (x) | )   Betrag vom Prod. ist Prod. der Beträge

             = | a|* | f(0) | +|a|* sup_{x Element [0,1]} | f ' (x) |   denn a hängt ja von x nicht ab.

Dann |a ausklammern 

             = | a|*  ( | f(0) | +sup_{x Element [0,1]} | f ' (x) | ) = |a| * |||f |||

Und bei der Dreiecksungl. kannst du alles auf die Eigenschaften des Betrages zurückführen

etwa so

|||f+g ||| = | (f+g)(0) | + sup_{x Element [0,1]} |(f+g) ' (x) |

           =  | (f(0)+g(0) | + sup_{x Element [0,1]}  | f ' (x)+g ' (x) |

Jetzt die Dreiecksungl. für |  | 

         ≤  | (f(0) | +  | g(0) | + sup_{x Element [0,1]} ( | f ' (x)| + |g ' (x) |)

da nichts neg.  ist,  ist sup ( Summe) = summe der suprema

=  | (f(0) | +  | g(0) | + sup_{x Element [0,1]} ( | f ' (x)|) +sup_{x Element [0,1]} ( | g ' (x)|)

= | (f(0) | + sup_{x Element [0,1]} ( | f ' (x)|)  ₊  | g(0) |  +sup_{x Element [0,1]} ( | g ' (x)|)

=  |||f |||+ ||| g |||