Definitheit ist doch wohl klar, rechts kommt nix negatives vor.
abs. Homogenität
|||a*f ||| = | a*f(0) | + supx Element [0,1] |(a*f) ' (x) |
= | a|* | f(0) | + supx Element [0,1] |a*f ' (x) | denn Abl von a f ist a f '
= | a|* | f(0) | + supx Element [0,1] (|a|*| f ' (x) | ) Betrag vom Prod. ist Prod. der Beträge
= | a|* | f(0) | +|a|* supx Element [0,1] | f ' (x) | denn a hängt ja von x nicht ab.
Dann |a ausklammern
= | a|* ( | f(0) | +supx Element [0,1] | f ' (x) | ) = |a| * |||f |||
Und bei der Dreiecksungl. kannst du alles auf die Eigenschaften des Betrages zurückführen
etwa so
|||f+g ||| = | (f+g)(0) | + supx Element [0,1] |(f+g) ' (x) |
= | (f(0)+g(0) | + supx Element [0,1] | f ' (x)+g ' (x) |
Jetzt die Dreiecksungl. für | |
≤ | (f(0) | + | g(0) | + supx Element [0,1] ( | f ' (x)| + |g ' (x) |)
da nichts neg. ist, ist sup ( Summe) = summe der suprema
= | (f(0) | + | g(0) | + supx Element [0,1] ( | f ' (x)|) +supx Element [0,1] ( | g ' (x)|)
= | (f(0) | + supx Element [0,1] ( | f ' (x)|) + | g(0) | +supx Element [0,1] ( | g ' (x)|)
= |||f |||+ ||| g |||