Beweisen: Folge (a_(k))_(k € N) ⊂ R^n ist genau dann eine Cauchyfolge in R^n, wenn für i=1,...,n .... Epsilon nötig?

Question

wie beweist man so eine Aussage? ⊂

Eine Folge (a_(k))_(k € N) echte Teilmenge R^n ist genau dann eine Cauchyfolge in R^n, wenn für i=1,...,n die Koeffizientenfolgen (a^i_(k))_(k € N) Cauchyfolgen sind, wobei a_(k)= (a^1_(k).....a^n_(k))^t

Muss man hier die epsilon Definition nutzen ?

Ich hoffe jemand hat einen Ansatz für mich

Answer 1

Nein, du musst keine epsilon Definition nutzen. Du darfst auch jede andere schon bewiesene Charakterisierung von Cauchyfolgen verwenden.

Comments

Hättest du vielleicht einen Ansatz für mich

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Sei ε> 0.

Wenn jede Koeffizientenfolge Cauchyfolge ist, dann gibt es ein M, so dass in jeder Koeffizientenfolge die Abstände zwischen den Folgegliedern ab der Position M kleiner als ε sind. Schau mal welche Ungleichungen du zur Verfügung hast. Eine davon wird dich dazu führen, dass dann auch der Abstand der Folgenglieder ab Position M kleiner als c·ε sein muss, wobei c eine feste Zahl ist.

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Benutzt du grad die Definition von eine cauchyfolge

∀ε>0∃n0∈N:|an −am|<ε∀m,n≥n0  

Oder welche Ungleichung meinst du