Determinante Matrizen ausrechnen

Question

In den Übungsaufgaben zur Matrizen und Determinantenbestimmung die ich kennengelernt habe, war der Lösungsweg immer einseitig. D.h. entweder hat man nur die Zeilen miteinander +*/- etc genommen und so die Determinante ausgerechnet.
Oder als Lösungsweg wurden nur die Spalten wie beim LGS umgestellt, sodass man die Determinante ausrechnen kann.

Darf man auch beides anwenden? also z.B. man addiert die 2 Spalte zur 4 Spalte und die 1 Zeile multipliziert man mit der 3 Zeile ?

Wenn beides möglich ist, wäre ich über einen Link oder Aufgaben solcher Form sehr dankbar.

Comments

Wie meist du das: "1 Zeile multipliziert man mit der 3 Zeile"

Du meinst sicher auch hier ein Umformen: Also das vielfache der 1. Zeile wird zur 3. Zeile addiert.

---

Ja genau Beispiel 123 456 789. Die zweite Spalte (456)- erste Spalte (123) *3) Danach Die 3zeile(369) - erste Zeile (147)*2

---

Keine Gute Darstellung von mir (123)(456)(789)

Answer 1

Du kannst nur Zeilenoperationen oder nur Spaltenoperationen oder beides verwenden, die Auswirkungen auf die Determinante sind dieselben. Schau Die mal die Rechenregeln für Determinanten an, das wäre ein guter Einstieg.

Comments

was heißt das jetzt genau?

kann ich nun beides machen wie ich will, um mehrere 0-len in einer Spalte bzw. Zeile zu haben, damit die Determinante einfacher auszurechnen ist?

---

Zitat:

Du kannst nur Zeilenoperationen oder nur Spaltenoperationen oder beides verwenden, ...

Schau Die mal die Rechenregeln für Determinanten an, das wäre ein guter Einstieg.

---

Ich ergänze meine Antwort noch:

(1) Zu Rechenregeln vgl. den Wikipedia-Artikel über Determinanten den Abschnitt
Gaußsches Eliminationsverfahren zur Determinantenberechnung

(2) Es gilt det A = det A^T, so dass Deine Frage hierin eine Antwort findet.

---

Bitte mal das Beispiel anschauen. Danke für die Regeln, aber ich würde das besser verstehen, wenn ihr dies kommentiert. Ich kann das leider nicht so gut über das Internet rüber bringen was ich meine.

Ich habe mal eine Beispielaufgabe: 4x4

2 4 6 8                       I Spalte

4 8 13 17                   II

6 12 18 20                 III

2 1 1 0                        IV

 

II-I*2 =(4-2*2; 8-4*2; 13-6*2; 17-8*2)

2 4 6 8

0 0 1 1

6 12 18 20

2 1 1 0

Jetzt die Zeilen

2 Zeilen - 1 Zeilen =(4-2; 0-0; 12-6; 1-2)

2 2 6 8

0 0 1 1

6 6 18 20

2 -1 1 0

 

Mir geht es um die Vereinfachung der Zahlen. Jetzt kann ich die Determinante nach der Spalte (0 0 1 1) ausrechnen. Kann man diese Schritte gleichzeitig durchführen?

---

Zeilen liegen waagerecht, Spalten senkrecht!

---

habe es verbessert, bin durcheinander gekommen

---

Ich sehe da nichts Verbessertes!

Du hast im ersten Schritt das Doppelte der ersten Zeile von der zweiten Zeile subtrahiert, so dass der zweite Zeilenbektor nun (0,0,1,1) heißt. Wäre es nun nicht sinnvoll, die dritte von der vierten Spalte oder umgekehrt zu subtrahieren, um eine weitere Null im zweiten Zeilenvektor zu bekommen?

Was Du im zweiten Schritt gemacht hast, ist zwar nicht falsch, führt aber auch nicht so recht weiter.

---

[2, 4, 6, 8;
4, 8, 13, 17;
6, 12, 18, 20;
2, 1, 1, 0]

Ich ziehe von der zweiten spalte 2 mal die erste ab von der 3 spalte 3 mal die erste und von der 4 spalte 4 mal die erste.

[2, 0, 0, 0;
4, 0, 1, 1;
6, 0, 0, -4;
2, -3, -5, -8]

Nun entwickel ich nach der zweiten Spalte.

-3 * det [2, 0, 0; 4, 1, 1; 6, 0, -4] durch die vielen Nullen ist das hier sehr einfach auszurechnen.
= -3 * -8 = 24

Andere Möglichkeit
[2, 4, 6, 8;
4, 8, 13, 17;
6, 12, 18, 20;
2, 1, 1, 0]

Ich ziehe von der 2 zeile 2 mal die erste zeile ab, von der 3 zeile 3 mal die erste und von der 4 zeile einmal die erste.

[2, 4, 6, 8;
0, 0, 1, 1;
0, 0, 0, -4;
0, -3, -5, -8]

Ich entwickel nach der 3. Zeile

-4 * -det[2, 4, 6; 0, 0, 1; 0, -3, -5]
= -4 * (-(-(-6))) = 24

Man kann selbstverständlich auch gemischt zeilen und spalten abziehen. je nachdem was einem am einfachsten erscheint. gut ist, wenn am ende in einer zeile oder einer spalte nur noch eine zahl ungleich 0 ist und ansonsten möglichst viele nullen auftreten.