Determinante ausrechnen und welches d der Matrix singulär ist

Question

Aufgabe: Berechnen Sie unter Angabe des Rechenwegs det (C)= \( \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 4 \\ 6 & 9 & d & 12 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ 8 & d & 4 & 0 \end{pmatrix} \) und geben Sie an, für welches d die Matrix C singulär ist.

Problem/Ansatz: Kann mir jemand helfen und schritt für schritt den Lösungsweg zeigen für die Aufgabe, habe große Schwierigkeiten bei Determinanten. Kann es bei meiner Mathe Dozentin nicht nachvollziehen :(

Answer 1

\(det( \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 4 \\ 6 & 9 & d & 12 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ 8 & d & 4 & 0 \end{pmatrix} )\)

Entwickeln nach der 3. Zeile

\(=0 \cdot \dots -4 \cdot det( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\  6 & d & 12 \\  8 & 4 & 0 \end{pmatrix} )+ 2 \cdot det( \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\  6 & 9 & 12 \\  d& 4 & 0 \end{pmatrix} ) -0 \cdot \dots \)

Die 3er-Determinaten z.B. mit der Regel von Sarrus ausrechnen gibt

\(= -4 \cdot ( -32d +96  )+ 2 \cdot 0 =   128d -384 \)

Also det=0 für d=3.