Partielles Ableiten an einer bestimmten Stelle. f(x,y) = xy(x^2 - y^2)/(x^2 + y^2), für (x,y)≠(0,0).

Question

hänge an folgender Aufgabe fest:

Und zwar ist mir bei der a) nicht klar, was (0,y) und (x,0) bedeutet? 

Ich habe erstmal die partiellen Ableitungen bestimmt und folgendes rausbekommen:

$$ \frac { \partial f }{ \partial x } =\quad \frac { y({ x }^{ 4 }+4{ x }^{ 2 }y^{ 2 }-{ y }^{ 4 }) }{ { (x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }{ ) }^{ 2 } } \quad für\quad (x,y)\neq (0,0) $$

$$ \frac { \partial f }{ \partial y } =\quad \frac { { x }^{ 5 }-4{ x }^{ 3 }{ y }^{ 2 }-{ xy }^{ 4 } }{ { (x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }{ ) }^{ 2 } } \quad für\quad (x,y)\neq (0,0) $$

Aber wie genau muss man jetzt weiter machen? Also muss man (0,y) einsetzen oder wie? 

Comments

Zu b) gibt es wohl einen Kommentar hier: https://www.mathelounge.de/346200/partielle-ableitungen-von-f-x-y-xy-x-2-y-2-x-y-≠0-f-0-0-0-beweis-von-b (?) 

Du sollst offenbar zeigen, dass f  (einmal) stetig partiell differenzierbar ist. 

Answer 1

Ja genau 

∂f/∂x (0, y) = - y

∂f/∂y (x, 0) = x

Comments

Okay danke habe das mittlerweile auch raus. Kann man dann in b) sagen dass man in a) schon die diffbarkeit gezeigt hat und so nun nur noch die Stetigkeit zeigen muss? 

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 Kannst du  vielleicht einmal für ∂f/∂y den Rechnemweg  aufschreiben. Ich muss in meiner Rechnung irgenwo einen Fehler haben. Die ander Rechnung hab ich.

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Du müsstest denke ich dein Ergebnis einklammern.

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f(x,y) = x·y·(x^2 - y^2) / (x^2 + y^2)

fx'(x,y) = y·(x^4 + 4·x^2·y^2 - y^4) / (x^2 + y^2)^2

fy'(x,y) = x·(x^4 - 4·x^2·y^2 - y^4)/(x^2 + y^2)^2

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Kannn mir jemand eine Lösung für b) hinschreiben..

Ich hab mir zwar den Link angeschaut aber konnte es nicht verstehen..

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Du sollst zeigen das die beiden oberen gebildeten Ableitungen stetig sind. Kannst du das zeigen ? An welcher Stelle könnte es überhaupt Probleme geben ? Dann brauchst du eigentlich nur die Stelle prüfen.

Wenn du nicht mehr weißt wie man zeigt, dass eine Funktion stetig ist, ist jetzt genau der Augenblick gekommen wo du nochmals in deinen Aufzeichnungen nachlesen solltest.

Ich empfehle jedem sich eine kleine Mappe anzulegen mit Regeln, Formeln etc. die immer wieder benötigt werden.