Frage zu Lagrange Multiplikator

Question

hallo ich habe die folgende Frage: Die Fragestellung lautet: Welcher Punkt des Rotationsparaboloids z=x^2 +y^2 ist dem Punkt(1,11/2) am nächsten? Die Aufgabe soll mit Lagrange Multiplikator gelöst werden. Habe leide keine Idee wie man diese Aufgabe lösen sollte: Würde mich auf eine Antwort sehr sehr freuen :)

Comments

Dem Punkt (1,11/2) fehlt eine Koordinate.

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ja es wäre 1,1,1/2 kannst du mir den Ansatz sagen wie man bei dieser Aufgabe vorgehen müsste?

Answer 1

Hi, ich hätte folgenden Ansatz gewählt

$$ L(x,y,z,\lambda) = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2 +\left(z-\frac{1}{2}\right)^2} + \lambda(z-x^2-y^2)  $$ und darauf den Lagrange Formalismuss angewandt. Die Wurzel kann man aber wahrscheinlich weglassen ohne die Lösungsmenge zu verändern, habe ich aber nicht ausprobiert.

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wie kommst du genau auf die Hauptfunktion?

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Hi,

der Abstand eines beliebigen Punktes von (1,1,1/2) berechnet sich zu

$$  (x-1)^2 + (y-1)^2 +\left(z- \frac{1}{2} \right)^2 $$ und die Nebenbedingung ist $$ z - x^2 - y^2 = 0  $$

Die Lösung entspricht übrigens der von Oswald. So würde es also auch gehen.

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Wenn Du auf die Funktion \( L(x,y,z,\lambda) = (x-1)^2 + (y-1)^2 +\left(z-\frac{1}{2}\right)^2 + \lambda (z-x^2-y^2)  \)

den Lagrange Algorithmus anwendest kommst Du zu folgendem Gleichungssystem

$$ (1) \quad L_x = 2(x-1) -2x\lambda = 0 $$

$$ (2) \quad L_y = 2(y-1) -2y\lambda = 0 $$

$$ (3) \quad L_z = 2\left(z-\frac{1}{2}\right) + \lambda = 0 $$

$$ (4) \quad L_\lambda = z-x^2-y^2 = 0 $$

Aus (4) gewinnt man \( z(x,y) \) und setzt dies in (3) ein. Daraus gewinnt man \( \lambda(x,y) \). \( \lambda(x,y) \) setzt man in (1) und (2) ein. Als Lösung erhält man \( x = y \). Damit hat man \( \lambda(x,y) \) als eine Funktion \( \lambda(x) \) erhalten und dies setzt man in (1) ein und bekommt $$ x = y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{2} $$ Daraus folgt $$  z = \frac{1}{2} \sqrt[3]{4} $$ und zum Schluss $$ \lambda = 1-\sqrt[3]{4} $$

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vielen vielen dank hat mir sehr geholfen

Answer 2

Der Abstand zwischen dem Punkt (1, 1, 1/2) und dem Punkt (x, y, f(x,y)) ist

        d(x,y) = √((x-1)² + (y-1)² + (x² + y² - 1/2)²).

Die Summanden in der Wurzel sind nicht negativ. Also ist d(x,y) minimal genau dann wenn

        d²(x,y) = (x-1)² + (y-1)² + (x² + y² - 1/2)²

minimal ist. Bestimme also den Tiefpunkt von d²(x,y). Ich weiß nicht wofür man hier Lagrange-Multiplikatoren braucht.

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danke erstmal für die Antwort.Ich kann die Logik dahinter nicht nachvollziehen. Ich meine ist das immer so, dass man für die nächsten Punkte (x-x0)^2+(y-y0)^2und ... nimmt oder hängt das von der Aufgabe ab? woran kann man denn feststellen was die Hauptfunktion  seins sollte

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> dass man für die nächsten Punkte (x-x0)²+(y-y0)^2und ... nimmt

Ich verstehe "für die nächsten Punkte" nicht. Die Funktion d(x,y) kommt von Pythagoras.

> woran kann man denn feststellen was die Hauptfunktion  seins sollte

Ich weiß nicht was du mit "Hauptfunktion" meinst.