Wenn Du auf die Funktion \( L(x,y,z,\lambda) = (x-1)^2 + (y-1)^2 +\left(z-\frac{1}{2}\right)^2 + \lambda (z-x^2-y^2) \)
den Lagrange Algorithmus anwendest kommst Du zu folgendem Gleichungssystem
$$ (1) \quad L_x = 2(x-1) -2x\lambda = 0 $$
$$ (2) \quad L_y = 2(y-1) -2y\lambda = 0 $$
$$ (3) \quad L_z = 2\left(z-\frac{1}{2}\right) + \lambda = 0 $$
$$ (4) \quad L_\lambda = z-x^2-y^2 = 0 $$
Aus (4) gewinnt man \( z(x,y) \) und setzt dies in (3) ein. Daraus gewinnt man \( \lambda(x,y) \). \( \lambda(x,y) \) setzt man in (1) und (2) ein. Als Lösung erhält man \( x = y \). Damit hat man \( \lambda(x,y) \) als eine Funktion \( \lambda(x) \) erhalten und dies setzt man in (1) ein und bekommt $$ x = y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{2} $$ Daraus folgt $$ z = \frac{1}{2} \sqrt[3]{4} $$ und zum Schluss $$ \lambda = 1-\sqrt[3]{4} $$
