Umkehrfunktion y = 2^x * (2^x + 1)

Question

Wie berechne ich die Umkehrfunktion von y = 2^x * (2^x + 1)?

Das Grundsätzliche vorgehen ist bekannt, jedoch komme ich auf keine richtige Lösung.

Answer 1

Hi!

y = 2^x * (2^x + 1)   |Umformen nach x

sei z=2^x

y=z²+z      |pq-Formel

z=-1/2±√((-1/2)²+y)

2^x=-1/2±√((-1/2)²+y)   |ln

ln(2)*x=ln(-1/2±√((-1/2)²+y))     |:ln(2)

x=(ln(-1/2±√((-1/2)²+y)))/ln(2)

x und y vertauschen:

y=(ln(-1/2±√((-1/2)²+x)))/ln(2)

-> Das ist deine Umkehrfunktion:

Comments

~plot~2^x+4^x;(ln(-1/2+sqrt((-1/2)^2+x)))/ln(2)~plot~

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Vielleicht möchtest du noch etwas dazu sagen das du in deiner Lösung noch ein ± stehen hast, dieses aber in der Skizze nur als + betrachtest.

Oder vielleicht kann sich ja mal der Fragesteller überlegen warum das "-" eigentlich uninteressant ist.

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>   y=(ln(-1/2 ± √((-1/2)²+x)))/ln(2) 

mit dem Minuszeichen  definiert die Gleichung keine Funktion

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Ja. Das ist richtig. Aber eigentlich wollte ich darauf hinaus, dass z für 2^x stand und man dort schon wissen darf, dass 2^x und damit z nur positive Werte annehmen kann.

Aber dazu muss man die Rechnung Schritt für Schritt nachvollzogen haben. Daher der Hinweis an den Fragesteller,

Answer 2

y = 2^x·(2^x + 1)

z = 2^x

y = z·(z + 1)

y = z^2 + z

z^2 + z - y = 0

z = (√(4·y + 1) - 1)/2

Resubst x = LN(z) / LN(2)

x = LN((√(4·y + 1) - 1)/2) / LN(2)

Ich spare mir das Vertauschen von x und y. Das solltest du aber noch machen.

Skizze

~plot~2^x*(2^x+1);ln((sqrt(4*x+1)-1)/2)/ln(2)~plot~