Extremwertaufgaben: Querschnitt eines Tunnels: Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis.

Question

Guten Morgen ,

kann mir jemand helfen um diese  Extremwertaufgabe  zu lösen :

p { margin-bottom: 0.25cm; line-height: 120%; }

Der Querschnitt eines Tunnels habe die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis sein gesamter Umfang U=100m . Für welcher Halbkreis Radius wird der Flächeninhalt der Querschnitts am größtem 

ich habe diese Ansatz vewendet aber ich weiß nicht genau wie kann ich weiter machen :

NB: U=2πr + 2(a+b)

HB : r=U/2π

Comments

EDIT: Hier klappt etwas mit der Darstellung nicht:

p { margin-bottom: 0.25cm; line-height: 120%; }

Soll das da so stehen? Ist das überflüssig? 

Answer 1

HI!

NB:pi*r+2(r+a)=100  

HB: (pi*r²)/2+2r*a

NB nach a auflösen:

pi*r+2(r+a)=100  

pi*r+2r+2a=100      | :2

pi*r/2+r+a=50          |-r-pi*r/2

a=50-r-pi*r/2

In HB einsetzen:

ZF(r)= (pi*r²)/2+2r*(50-r-pi*r/2)

=pi/2*r²+100r-2r²-pi*r²

=(pi/2-2-pi)r²+100r

=(-pi/2-2)r²+100r

Ableiten:

ZF '(r)= (-pi-4)r+100

Notwendige Bedingung:

ZF '(r)=0

ZF '(r)= (-pi-4)r+100=0        |-100 

             (-pi-4)r = -100          |:(-pi-4)

                    r= -100/(-pi-4)

                   r=14,002

A: Für einen Radius von ca 14m wird der Flächeninhalt maximal

Comments

Hi ,

also im NB kann man nicht 2r statt r schreiben so meine ich :

NB:pi*r+2(2r+a)=100

---

Nein die Breite des Rechtecks ist ja der Durchmesser des Halbkreises also 2r. a ist hier die Höhe des Rechtecks

---

das heißt mein Ansatz ist richtig ?
dein Ansatz war    :    NB:pi*r+2(r+a)=100   ,du hast nur ein r geschrieben 

---

Ja aber ich habe ja das r in der Klammer stehen und da den Faktor 2 vor der Klammer also 2r+2a

---

verstehst du was ich meine jetzt also die breite des Rechtecks ist 2r und wenn wir der Umfang berechnen wollen also der Formel wird so glaube ich    NB:pi*r+2(2r+a)=100 

---

Ja genau wenn du den Umfang des Rechtecks allein haben willst. Gesucht ist aber der Umfang des gesamten Gebildes. Dazu trägt das Rechteck nur 3 Seiten bei

Answer 2

NB: 100 = 2r+2h+πr
HB: Q=2hr+πr²/2.
NB z.B. nach h auflösen und in HB einsetzen: Q(r)=r(100-r(2+π))+πr²/2.