kürzester Abstand des Punktes (0,b) zur Parabel berechnen

Question

Meine Frage lautet :

Berechnen Sie den kürzesten Abstand des Punktes (0,b) zu der Parabel {(x,y)| x²-4y=0 }

Was muss hier bitteschön machen ? Ich verstehe gar nicht was die Aufgabe von mir möchte.

Könnte mir bitte jemand helfen ?

Answer 1

x² - 4y = 0
y = 1/4 * x^2

Den Abstand^2 berechnen wir aus

d^2 = (x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 = (x - 0)^2 + (1/4·x^2 - b)^2 = 1/16·x^4 - b/2·x^2 + x^2 + b^2

(d^2)' = 1/4·x^3 - b·x + 2·x = x·(1/4·x^2 - b + 2) = 0
x = 0 und x = ± 2·√(b - 2)

(d^2)'' = 3·x^2/4 - b + 2

Kürzester Weg für b < 2

(d^2)''(0) = 3·0^2/4 - b + 2 > 0
b < 2

d^2 = 1/16·0^4 - b/2·0^2 + 0^2 + b^2 = b^2
d = |b|

Kürzester Weg für b > 2

(d^2)''(2·√(b - 2)) = 3·(2·√(b - 2))^2/4 - b + 2 > 0
b > 2

d^2 = 1/16·(2·√(b - 2))^4 - b/2·(2·√(b - 2))^2 + (2·√(b - 2))^2 + b^2 = 4b - 4 = 4(b - 1)
d = 2·√(b - 1)

Kürzester Weg für b = 2

Wenn man für b = 2 einsetzt, dann erhält man für den Kürzesten Abstand über beide Formeln den Wert von 2.

Comments

also soweit habe ich das glaub ich verstanden aber kurz noch eine verständnisfrage und zwar

wieso untersuche ich nach zwei also >2  oder <2 =2 und nicht nach 3 zum beispiel?

danke

gruß lisa

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Die Bedingung für ein Minimum ist ja zweite Ableitung größer Null. Daher findest du oben 

(d²)''(0) = 3·0²/4 - b + 2 > 0

Das habe ich nach b aufgelöst und kam darauf das 0 für b < 2 ein Minimum ist.

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Aja ok danke dir :)

und ich muss den kürzesten abstand hier nicht angeben oder? das sind dann einfach meine fallunterscheidungen , ich mein damit also mein kürzester abstand wäre in diesem fall (0,2) oder

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Der kürzeste Abstand ist 

d = |b| für b <= 2 und

d = 2·√(b - 1) für b >= 2

Der Abstand wird hier nur in Abhängigkeit von b angegeben, da b unbekannt ist.