Kürzester Abstand P(x,y) auf der Funktion f(x)=ln(x) zum Punkt P0(2,2)

Question

Hallo liebe Mathelounge Community,

Die Aufgabenstellung lautet:

Für welchen Punkt P (x,y) der Funkton f(x) = ln (x) ist der Abstand zu dem Punkt P0 (2,2) am kleinsten.

Fertigen Sie eine Skizze.

Finden Sie die Nullstelle mit dem Näherungsverfahren nach Newton (x0 bis x3).

Mein Anstatz bis jetzt ist:

d² = (x-2)² +(ln(x) -2)²               *da  2.Binom

d² = x² -4x +8 + ln²(x) -4ln(x)

d²' = 2x -4 + (2ln(x)) /x - (4/x) = 0

Und genau hier komm ich nicht mehr weiter.

Ich muss nach x Auflösen und dort macht mir das ln einen Strich durch die Rechnung.

Auch wenn ich x habe was dann?

MfG

Answer 1

offensichtlich solltst du die Gleichung

2x -4 + (2ln(x)) /x - (4/x) = 0   mit dem Newtonverfahren lösen:

Newtonverfahren:

Ausgehend von einem (möglichst guten) Starwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

Infos dazu findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

[ Rechnerlösung: x ≈ 2,450426765 ]

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank dafür.

Aber muss ich nicht die Nullstelle der funktion f(x) = ln (x) finden ?

Die Gleichung  " 2x -4 + (2ln(x)) /x - (4/x) = 0 "  ist doch mein Ansatz um den kürzesten Abstand eines Punktes P(x,y) zum Punkt P0 ,welcher nicht auf der Gerade liegt, zu bestimmen.

Sofern wäre nach Newton die Nullstelle für f(x) = ln(x) also x≈1  .

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Oh nun verstehe ich es.

Vielen Dank für die Antwort.

Lösung also: Der Punkt der Funktion f(x)= ln(x)mit dem kleinsten Abstand zu P (2 , 2)  ist P(2,451 ; 0.836).
Nach Newton.

Wie würde ich aber die Gleichung " d²' = 2x -4 + (2ln(x)) /x - (4/x) = 0 " nach x Auflösen ohne ein Annäherungverfahren (wie Newton) zu nutzen, also rein Rechnerisch auf x = 2.451 kommen.
Dies wollte ich eigentlich versuchen (auch wenn mir jetzt Erklärt wurde, dass ich es normalerweise mit Newton machen soll).

d²' = 2x -4 + (2ln(x)) /x - (4/x) = 0  |+4  |*x
 4x   = 2x² + 2ln(x) -4

und dann nach x Auflösen ?

PS: Falls ich hierfür einen neuen Thread eröffnen sollte Entschuldigen Sie mich bitte.
       Ich dachte, dass ich in meiner Fragestellung nach dem rechnerischen Weg gefragt habe.

MfG