Extremwertaufgabe: Kürzester Weg: Sei A (0;4), B (18;8) und C (c;0). Gesucht c, so dass der Weg ACB minimal wird

Question

Gegeben seien die Punkte A (0;4), B (18;8) und C (c;0). Gesucht ist der Punkt
C auf der x-Achse, so dass der Weg ACB minimal wird.

hierbei handelt es sich um eine Extremwertaufgabe. Ich habe mir schon eine Skizze gemacht.

AC+BC soll ja minimal werden. Der dritte Punkt liegt irgendwo auf der x-Achse.

Ich komme aber nicht darauf, wie ich die HB und NB definieren soll...

Answer 1

  sicherlich hast du bereits eine Skizze gezeichnet. Der Punkt c kann auf der x-Achse wandern. Über den

Pythagoras ergibt sich der Weg zu √ ( 4^2 + c^2 )  + √( 8^2 + (18-c)^2). Dann den Extremwert über die erste Ableitung ermitteln. c = 6

Wesentlich einfacher geht es wenn du den Punkt B nach unten spiegelst B´( 18 ; -8 ). Die Verbindungsgerade A-B´

ist der kürzeste Weg. Es entstehen 2 Dreiecke für die nach den Strahlesätzen gilt

c / 4 = ( 18 - c) / 8

8 * c = 72 - 4 * c

12 * c = 72

c = 6

mfg Georg

Answer 2

A (0;4), B (18;8) und C (c;0)

Das schöne bei dieser Aufgabe ist: Es gibt eine total einfache zeichnerische Lösung. Wir zeichnen die Punkte in ein Koordinatensystem ein und spiegeln sie an der x-Achse. Nun verbinden wir A mit B' und B mit A'. Als Schnittpunkt ergibt sich  der Punkt C.

Rechnerisch müsste gelten:

d = √(c^2 + 4^2) + √((18 - c)^2 + 8^2) = √(c^2 + 16) + √(c^2 - 36c + 388)

d' = c/√(c^2 + 16) + (c - 18)/√(c^2 - 36c + 388) = 0
d' = (c·√(c^2 - 36·c + 388) + (c - 18)·√(c^2 + 16)) /√((c^2 + 16)(c^2 - 36c + 388)) = 0

c·√(c^2 - 36·c + 388) + (c - 18)·√(c^2 + 16) = 0
c·√(c^2 - 36·c + 388) = (18 - c)·√(c^2 + 16)
c^2·(c^2 - 36·c + 388) = (c - 18)^2·(c^2 + 16)
c^4 - 36·c^3 + 388·c^2 = c^4 - 36·c^3 + 340·c^2 - 576·c + 5184
c^4 - 36·c^3 + 340·c^2 - 576·c + 5184 - (c^4 - 36·c^3 + 388·c^2) = 0
- 48·c^2 - 576·c + 5184 = 0
c = -18 ∨ c = 6

c ist nicht im Definitionsbereich von 0 bis 18, Daher ist hier 6 die richtige Lösung. Das kommt auch mit der grafischen Lösung hin.