Den Punkt P so bestimmen, dass die Fläche minimal wird

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte P(3/1/-2), Q(0/4/1) und die Gerade g: \( \begin{pmatrix} 2\\2\\5 \end{pmatrix}+ k\begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} \). Der Punkt R liegt auf der Geraden g. Der Punkt R soll so bestimmt werden, dass die Fläche des Dreiecks PQR minimal wird. Wie gross ist diese Fläche?

Problem/Ansatz:

Leider enden meine Ideen immer wieder im nirgendwo.

Answer 1

Wähle |PQ| als Länge der Grundseite von PQR und den Abstand eines beliebigen Punktes R von der Geraden PQ als Höhe des Dreiecks PQR.

Comments

Kannst du bitte genauer erläutern wie du dies meinst?

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Der Punkt R heißt (2-k| 2| 5+k).Wie man den Abstand eines Punktes von einer Geraden bestimmt, steht im Netz. Der Abstand ird dann als Funktiion von k dargestellt. Eine Nullstelle der ersten Ableitung dieser Funktion führt  dann zur Höhe des gesuchten Dreiecks (nämlich der Funktionswert an dieser Stelle). Die Länge der Grundseite ist der Betrag |PQ|.

Answer 2

du könntest auch so vorgehen:

du erstellst eine Gleichung h durch P und Q

$$h: \begin{pmatrix} 3\\1\\-2 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} -3\\3\\3 \end{pmatrix}$$

Der geringste Abstand der Geraden entspricht der Strecke zwischen den Punkten R und H (Punkt auf h), deren Vektor \( \vec{RH} \) sowohl senkrecht auf der Geraden g als auch auf der Geraden h steht, was bedeutet, dass das jeweilige Skalarprodukt = 0 ist:

\( \vec{RH} \) ° \( \vec{RV_g} \) =0

\( \vec{RH} \) ° \( \vec{RV_h} \) =0

\( \vec{RH} \) =

$$\begin{pmatrix} 3-3r-(2-k)\\1+3r-2\\-2+3r-(5+k )\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-3r+k\\-1+3r\\-7+3r-k \end{pmatrix}$$

Es ergeben sich aus den Multiplikationen mit den jeweiligen Richtungsvektoren zwei Gleichungen:

-8 + 6r -2k = 0 und -27 + 27r -6k = 0

Die Lösungen dieses Gleichungssystems sind r = \( \frac{1}{3} \) und k = -3

Daraus ergeben sich die Punkte

$$H(2|2|-1) \text{ und }R(5|2|2)$$

Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich aus der Strecke zwischen diesen beiden Punkten und der zwischen P und Q:

$$A=\frac{PQ\cdot RH}{2}=11,0227$$

Gruß, Silvia