Problem beim berechnen der Orthogonalbasis mit Eigenvektoren: A={{3,2,1},{2,0,-2},{1,-2,3}}

Question

Die Orthogonalbasis mit Eigenvektoren soll bestimmt werden

A={{3,2,1},{2,0,-2},{1,-2,3}} Ich hab das charakteristische Polynom ausgerechnet und als Eigenwerte x1,2= 4 und x3= -2 erhalten.

Die Werte dann in die Matrix eingesetzt EW(A-4)={{-1,2,1},{2,-4,2},{1,-2,-1}} bzw. EW(A-(-2))={{5,2,1},{2,2,-2},{1,-2,5}} erhalten.

Den ersten Eigenvektor hab ich bei {{1-,2,1}}. Mein Problem ist jetzt die beiden anderen zu finden, da ich immer wieder diesen einen nur rausbekomme. Könnte mir da vielleicht einer weiterhelfen?

Comments

\((1)\quad\lambda=2:(A+2I)\cdot v=0\) liefert \(v=\begin{pmatrix}t\\-2t\\-t\end{pmatrix}\). Wähle z.B. \(v_1=\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}\).
\((2)\quad\mu=4:(A-4I)\cdot w=0\) liefert \(w=\begin{pmatrix}x\\y\\x-2y\end{pmatrix}\).
Wähle z.B. \(w_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) und \(w_2\ne0\) so, dass \(w_1^\top\cdot w_2=0\), d.h. \(x=y\) ist, also z.B. \(w_2=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\).
Damit sollte \(\cal B=(v_1,w_1,w_2)\) eine gesuchte Basis sein.

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Vielleicht eine etwas doofe Frage aber wo kommt das I hinter der 2 und der 4 her? Und hab ich das richtig verstanden dass ich die Matrix durch 4 bzw. 2 teilen muss.

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Das I oder E steht für die Einheitsmatrix. Du ziehst dadurch sogesehen den Eigenwert auf der Hauptdiagonalen ab.

Teilen musst du nichts. Es geht darum für jeden Eigenraum das Gleichungssystem zu lösen, was durch die jeweiligen Eigenwerte bestimmt wird.

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Ok das heißt ich erhalte erstmal dann für den Wert 4 die Matrix

{{-1,2,1},{2,-4,-2},{1,-2,-1}} und für den Wert 2 die Matrix

{{5,2,1},{2,2,-2},{1,-2,5}} richtig?

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Kleine Korrektur: In Zeile 1 muss es \(\lambda=-2\) heißen.

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Den eigenraum zum Wert -2 hab ich raus. Mein Problem ist jetzt dass ich für den Wert 4 den gleichen eigenraum erhalte sprich {{1,-2,-1}}

Als Gleichungssystem habe ich:

-1v1+2v2+1v3=0

  2v1-4v2+2v3=0

   1v1-2v2-1v3=0

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Dass du keine Basis über linear abhängige Vektoren darstellen kannst, hast du richtig bemerkt.

Sieh dir mal den ersten Kommentar auf deine Frage an. Dort werden 2 Basisvektoren über ein Fundamentalsystem "gefunden" und ein dritter (w₂) dazu orthogonaler Vektor erzeugt, indem man voraussetzt dass ein Skalarprodukt orthogonaler Vektoren Null ergibt.

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Ok also wenn ich das Fundamentalsystem auflöse erhalte ich ja am Ende -1v1+2v2+1v3=0 seh ich die dann als führende Parameter an oder als unbekannte Parameter?

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entschuldigung aber was hast du als charakteristisches polynom bekommen?

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χ_(A)λ = -x³+6x²-32

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Wozu wird der Eigenraum bestimmt ?

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Ja characteristisches polynom habe ich schon und wie kommst du bitte au die Ew?

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Ja characteristisches polynom habe ich schon und wie kommst du bitte au die Ew?ich weiss ,dass wir das characteristisches polynom gleich o setzen sollen.Aber komme ich auf den werte nicht

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Die -2 musst du erraten setz die mal in die Gleichung -x³+6x²+32 ein dann erhältst du 0 und um die anderen beiden zu erhalten musst du

-x³+6x²+32 : (x+2) rechnen und dann die quadratische Gleichung die du erhältst mit der pq-Formel ausrechnen.

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-32 am Ende der Formel natürlich immer!