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Metrischen Raum zeigen d\(((x,x'),(y,y'))=d_X(x,y)+d_X(x',y')\)
Wenn wir zeigen wollen, dass durch die Funktion \(d_{X \times X}\) mit \(d_{X \times X}((x,x'),(y,y')) = d_X(x,y) + d_X(x',y')\) eine Metrik auf dem Produkt der Menge \(X\) mit sich selbst (\(X \times X\)) definiert ist, müssen wir drei Eigenschaften einer Metrik nachweisen: die Nichtnegativität, die Identität von Indiszerniblen und die Dreiecksungleichung. Da \(d_X\) eine Metrik auf \(X\) ist, erfüllt \(d_X\) bereits diese drei Eigenschaften. Wir müssen nun zeigen, dass auch \(d_{X \times X}\) diese Eigenschaften erfüllt.
Nichtnegativität
Für jede Metrik gilt, dass für alle Punkte \(x,y\) in einem metrischen Raum die Distanz zwischen ihnen nichtnegativ ist. Dies gilt auch hier:
\(d_{X \times X}((x,x'),(y,y')) = d_X(x,y) + d_X(x',y') \geq 0 + 0 = 0\),
da sowohl \(d_X(x,y)\) als auch \(d_X(x',y')\) als Metriken nichtnegativ sind.
Identität von Indiszerniblen
Für eine Metrik \(d\) gilt \(d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y\). Wir müssen zeigen, dass
\(d_{X \times X}((x,x'),(y,y')) = 0 \Leftrightarrow (x,x') = (y,y')\).
\(d_{X \times X}((x,x'),(y,y')) = 0\)
bedeutet, dass
\(d_X(x,y) + d_X(x',y') = 0\).
Für Metriken gilt jedoch, dass \(d_X(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y\) und \(d_X(x',y')=0 \Leftrightarrow x'=y'\). Also:
\(d_{X \times X}((x,x'),(y,y')) = 0 \Leftrightarrow x=y \text{ und } x'=y'\).
Dies zeigt, dass die Identität von Indiszerniblen für \(d_{X \times X}\) gilt.
Symmetrie
Die Metrik \(d_X\) ist symmetrisch, also gilt \(d_X(a,b)=d_X(b,a)\) für alle \(a,b \in X\). Deshalb gilt
\(d_{X \times X}((x,x'),(y,y')) = d_X(x,y) + d_X(x',y') = d_X(y,x) + d_X(y',x') = d_{X \times X}((y,y'),(x,x'))\).
Das zeigt, dass \(d_{X \times X}\) symmetrisch ist.
Dreiecksungleichung
Für die Dreiecksungleichung müssen wir zeigen, dass für alle \((x,x'),(y,y'),(z,z') \in X \times X\), die Ungleichung
\(d_{X \times X}((x,x'),(z,z')) \leq d_{X \times X}((x,x'),(y,y')) + d_{X \times X}((y,y'),(z,z'))\)
gilt. Das folgt aus
\(d_{X \times X}((x,x'),(z,z')) = d_X(x,z) + d_X(x',z')\)
und der Anwendung der Dreiecksungleichung für \(d_X\) auf die Paare \((x,z), (x,y), (y,z)\) und \((x',z'), (x',y'), (y',z')\), was ergibt:
\(d_X(x,z) \leq d_X(x,y) + d_X(y,z)\)
und
\(d_X(x',z') \leq d_X(x',y') + d_X(y',z')\).
Addiert man diese beiden Ungleichungen, erhält man:
\(d_{X \times X}((x,x'),(z,z')) \leq d_{X \times X}((x,x'),(y,y')) + d_{X \times X}((y,y'),(z,z'))\).
Das beweist, dass \(d_{X \times X}\) die Dreiecksungleichung erfüllt und damit eine Metrik auf \(X \times X\) definiert.
