zeigen, dass Abbildung offen/geschlossen ist

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Abbildung (zwischen zwei metrischen Räumen)

a) ℝ→ℝ², x↦(x,0) abgeschlossen, aber nicht offen ist.

b) ℝ²→ℝ, (x,y)↦x offen, aber nicht abgeschlossen ist.

Ich weiß nicht, wie ich hier vorgehen muss. Wie zeigt man denn, dass eine Abbildung offen bzw. abgeschlossen ist? Reicht es, wenn man z.B. bei a zeigt, dass die abgeschlossen ist oder muss man wirklich beides zeigen?

Answer 1

Zu a)

Sei \(f:R\rightarrow R^2,\; x\mapsto (x,0)\).

Ist \(A\subseteq R\) abgeschlossen, so ist \(f(A)=A\times \{0\}\).

also als cartesisches Produkt abgeschlossener

Mengen abgeschlossen.

Keine Teilmenge \(\neq \emptyset\)  von \(R\times \{0\}\) ist offen in \(R^2\),

also auch nicht eine Menge \(f(O)\) für offenes \(O\subseteq R\).

Zu b)

\(g:R^2\rightarrow R,\;  (x,y)\mapsto x\) ist offen; denn

sei \(U_{\epsilon}(x_0,y_0)\) eine offene Umgebung von \((x_0,y_0)\)

in \(R^2\). Dann kann man die Umgebung in der Gestalt

\((x_0-\epsilon,\; x_0+\epsilon)\times (y_0-\epsilon,\; y_0+\epsilon)\)

annehmen (indem man z.B. die max-Norm verwendet).

Es ergibt sich \(g(U_{\epsilon})=(x_0-\epsilon, \; x_0+\epsilon)\).

\(g\) ist nicht abgeschlossen:

Sei \(A=\{(x,y)\in R^2: \; xy=1\}\). Diese Menge ist abgeschlossen;

denn \(A=h^{-1}(\{1\})\) mit der stetigen Funktion \(h(x,y)=xy\).

Es ist aber \(g(A)=R \backslash \{0\}\) nicht abgeschlossen.