Zeigen Sie, dass die Folge a=(n-1)/n eine Cauchy Folge ist

Question

Die Aufgabe lautet wie folgt.

Es wäre nett, wenn mir da jemand helfen kann.

Answer 1

Hi,
zu (a)
Es ist zu zeigen das gilt $$ \left| \frac{n}{n-1} - \frac{m}{m-1} \right| < \epsilon  $$ für \( n,m > N \in \mathbb{N} \)
Sei nun \( n \ge m \) dann folgt $$ \left| \frac{n}{n-1} - \frac{m}{m-1} \right| = \left| \frac{1}{m} - \frac{1}{n} \right| = \frac{|n-m|}{n \cdot m} < \frac{1}{m} < \epsilon $$ für \( n \) groß genug. Für \( m \ge n \) geht es genauso.

zu (b)
$$ \sigma_{m-1} - \sigma_{n-1} = \sum_{k=1}^{m-1} |b_{k+1} - b_k| - \sum_{k=1}^{n-1} |b_{k+1} - b_k| = \sum_{k=n}^{m-1} |b_{k+1} - b_k| $$ Andererseits gilt
$$ |b_m - b_n| = \left| \sum_{k=n}^{m-1} (b_{k+1}-b_k) \right| \le \sum_{k=n}^{m-1} |b_{k+1} - b_k| $$
Also gilt $$ \sigma_{m-1} - \sigma_{n-1} \ge |b_m - b_n|  $$
Da \( \sigma_n \) eine konvergente Folge ist, ist sie auch eine Cauchyfolge in \( \mathbb{R} \) und da \( \sigma_n \) eine monoton wachsende Folge ist folgt, $$ |b_m - b_n | \le \sigma_{m-1} - \sigma_{n-1} = |\sigma_{m-1} - \sigma_{n-1}| < \epsilon  $$ für \( n,m \) groß genug. Damit ist auch \( b_n \) eine Cauchyfolge und somit konvergent.