Injektiv,Surjektiv,Bijektiv

Question

Kann mir jemand ganz allgemein erklären wie ich Injektivität und Surjektivität einer Abbildung nachweisen kann? Die Begriffe an sich hab ich ja verstanden aber ich weiß einfach nicht wie ich so etwas am besten zeigen kann!

Answer 1

Injektivität:

Seien a,b aus dem Definitionbereich einer Funktion f, so dass f(a) = f(b) ist. Dann ist a = b weil [hier Begründung für a=b einfügen].

Surjektivität:

Sei b aus der Zielmenge einer Funktion f. Dann gibt es ein a aus dem Definitionsbereich von f mit f(a) = b weil [hier Begründung für die Existenz einfügen].

Bijektivität

Die Funktion ist injektiv weil [hier Begründung für Injektivität einfügen]. Außerdem ist sie auch surjektiv weil [hier Begründung für Surjektivität einfügen]. Also ist sie auch bijektiv.

Comments

Das heißt für Injektivität muss ich die Funktion für a₁, a₂ so umformen können das am Ende steht a₁=a₂. Versteh ich das Richtig? Die Vorgehensweise bei surjektivität habe ich nicht ganz verstanden.Als Beispiel die Harmonische Summe: f(x):∑1/kDie ist ja injektiv weil sie monoton wachsend ist und zusätzlich kann ich sie ja wie gerade ebne besprochen umformen. Aber warum ist sie nicht surjektiv? Ich dachte jede monotone Funktion wäre Bijektiv und daher in weiterer Folge injektiv+surjektiv?Danke für die Hife!

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> Aber warum ist sie nicht surjektiv?

Eine Funktion besteht aus einer Definitionsmenge, einer Zielmenge und einer Vorschrift, wie Elemente der Definitionsmenge auf Elemente der Zielmenge abgebildet werden.

Oft sind Definitionsmenge und Zielmenge aus dem Zusammenhang klar oder es wird festgelegt, dass der größtmögliche Definitionsbereich gewählt wird. Bei Untersuchung von Surjektivität und Injektivität geht das nicht mehr, weil Definitionsmenge und Zielmenge Einfluss auf diese Eigenschaften haben.

Das hast du bei deiner die Zielmenge nicht angegeben, also kann Surjektivität überhaupt nicht beurteilt werden,

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Und wenn ich jetzt gegeben habe das ℕ→ℚ  gilt, dann weis ich das die Zielmenge die rationalen zahlen ist oder etwa nicht? Kannst du eventuell ein Beispiel für eine Surjektive Funktion geben?

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f: ℝ→ℝ, x↦x ist surjektiv