Flächeninhalt e-Funktion zwischen 3 Funktion

Question

Hey hab da mal eine Frage
Soll den Flächeninhalt zwischen den 3 Funktionen im folgenden Interwall bestimmen:(-1/1)

von f(x)=0,5*(e^x+e^-x)

g(x)=0,5*e^{-x} und 0,5*e^x

Wie gehe ich dort vor ? Bzw. was muss ich integrieren?

Answer 1

Ich mache dir zunächst eine Skizze damit du das besser sehen kannst, was zu berechnen ist:

Comments

Nun kann man sich die Symmetrie zunutze machen und das ganze berechnen über

2 * ∫ 0 bis 1 (0.5 * (e^x+e^{-x}) - 0.5 * e^x)

= 2 * ∫ 0 bis 1 (0.5 * e^x + 0.5 * e^{-x} - 0.5 * e^x)

= 2 * ∫ 0 bis 1 (0.5 * e^{-x})

= 2 * [- 0.5·e^{-x}] 0 bis 1

= 2 * ((- e^{-1}/2) - (- 1/2))

= 1 -1/e

= 0.6321205588

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Genau das BIld hab ich Zeichnerisc auch raus allerdings kann ich ja nicht das Integral zwischen 3 Flächen bilden oder?

Hatte grad die Idee villeicht die Gleichung der Parabell irgendwie zu berechnen ?

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Ah Okay jetzt versteh ich erst die eine Seite berechnen und aufgrund der vorliegenden Symmetrie einfach verdoppeln :)

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Das ist keine Parabel. Und die Gleichung hast du doch gegeben. Das ist das f(x). Das Ganze nennt sich auch der Kosinus-Hyperbolicus

https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_Hyperbolicus_und_Kosinus_Hyperbolicus

Und wenn du dir die Symmetrie zunutze machst ist es nur die Fläche zwischen 2 Funktionen.

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Habe mal ein Bildchen hinzugefügt:

e^x rot

e^{-x} grün

0,5 * (e^x + e^{-x}) blau

Idee:

Ich würde im Intervall von -1 bis 0 die Fläche zwischen e^{-x} und e^x berechnen und das Ergebnis mit 2

multiplizieren, weil dieses Gebilde achsensymmetrisch zur y-Achse ist. 

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Kann meinen Beitrag leider nicht löschen, in dem ich sogar eine falsche Graphik habe, sorry!

Der Mathecoach hat Recht - war auch nur eine Idee von mir ...