Beschreiben Sie die Kreislinie durch eine parametrisierte Kurve

Question

Aufgabe:

Beschreiben Sie die Kreislinie \( x^{2}+y^{2}=r^{2} \) durch eine parametrisierte Kurve \( \mathbf{x}:[0,2 \pi r] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \) wobei der Parameter \( t \) gleichzeitig die Bogenlänge beschreibt. Berechnen Sie den Tangentialvektor \( \mathrm{x}^{\prime}(t) \) und seinen Betrag. Berechnen Sie dann die Krümmung \( \kappa=\left|\mathrm{x}^{\prime \prime}(t)\right| \) der Kurve.

Probleme/Ansatz:

Wie kommt man denn auf so eine Parametrisierung .

Ich weiß, dass man hier den Vektor x(t)=(cos(t),sin(t)) als Beschreibung einer Kreislinie mit Radius 1 nutzen kann.

Und dass die Bogenlänge gleich ∫√(1+f´(t)^2)dt ist.

Comments

Wäre in der Parametrisierung x(t)=(cos(t),sin(t)), t nicht zufällig auch die Bogenlänge? Betrachte mal t = 0 und t = 2*pi. Welche Strecke hast der Punkt, der durch den Vektor beschrieben wird in diesem Intervall zurückgelegt?

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Danke MC . Willst du hinaus dass  ∫√((-sint)^2+(cost)^2)dt=∫1dt=t

in den Grenzen von bis 2π ergibt die Bogenlänge 2π , was gleich der Umfang des kreises ist und

dann hätte das Integral für die Bogenlänge wohl einfach nur "t" ergeben müssen? :D

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Darauf wollte ich hinaus. So das war nun ein Kreis mit dem Radius 1.

Nun machst du das mit dem Radius 2. Aber Achtung. das t so,ll wieder die Bogenlänge abgeben. D.h. der Betrag der Ableitung sollte wieder 1 sein.

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Ok super !

Nun ja da Mathef da schon etwas vorgegriffen hat fällt mir das etwas leichter ^^ .

Man braucht immer die Parametrisierung  (  r*cos(t/r)  ;   r*sin(t/r) )  mit t aus [ 0 ; 2*pi*r ]

Weil dann kürzt sich der Vorfaktor beim Ableiten immer weg wegen der inneren Ableitung des sinus und cosinus  , also

Integral von 0 bis z über wurzel( (r* (-1/r) * sin(t/r)  )² +  (r* (1/r) * cos(t/r)  )² )  dt

∫1dt =t in den Grenzen 0 bis z .

Answer 1

vielleicht so:

Parametrisierung  (  r*cos(t/r)  ;   r*sin(t/r) )  mit t aus [ 0 ; 2*pi*r ]

Dann ist z.B. für t=0 der Punkt  ( r ; 0 )

oder für t= pi*r ( also Intervallmitte ) der Punkt ( - r  ; 0 ) etc.

also immer auf dem Kreis um (0;0) mit Radius r.

Und die Bogenlänge ist von 0 bis z

( wie etwa in http://www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/linienintegral.pdf

beschrieben wird:)

Integral von 0 bis z über wurzel( (r* (-1/r) * sin(t/r)  )^2 +  (r* (1/r) * cos(t/r)  )^2 )  dt

= Integral von 0 bis z über 1   dt

= z - 0  = z .  Also gleich dem Wert des Parameters.

Comments

Und der Tangentialvektor  ( - sin ( t/r)  ;  cos ( t / r ) ) hat immer Länge 1.