hermitesch matrix und Definitheitseigenschaften

Question

Ich brauch bitte die lösung, ich hab schon versucht aber ich konnte es nicht lösen.

Comments

Tipp zu (a): Bekanntlich ist \(A\) diagonalisierbar.
Tipp zu (b): Zeige$$q_A(\vec x)=(x,y,z)\cdot\begin{pmatrix}1&-2&a\\-2&10&-2\\a&-2&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.$$

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Ich weiß dass es diagonalisierbar ist aber wie man zeigen soll.

Danke Dir.

Answer 1

zu a)  A hermitesch , also diagonalsierbar mit

S ^-1 * A * S = D   und   S ist regulär, hat also det (S) = k   ≠ 0  und det (S^-1) = 1 / k

und det ( D ) = Produkt der Eigenwerte ( denn die stehen ja in der Diagonalen) .

also   det(  S ^-1 * A * S)   =  det (D) =  Produkt der Eigenwerte

det(  S ^-1 ) *det( A)   *det (  S)   =  det (D) =  Produkt der Eigenwerte

        1/k  * det( A)   *  k    =  Produkt der Eigenwerte 

                det( A)       =  Produkt der Eigenwerte