Matrix A hermitesch. Zu zeigen: A transponiert und A konjugiert hermitesch.

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ M(3×3; ℂ) eine hermitesche Matrix. Zu zeigen: \( A^t \) und \(  \overline{A} \) hermitesch.

Und zu zeigen: Wenn A invertierbar, dann sind A und A^-1 hermitesch.

Problem/Ansatz:

Da A hermitesch, gilt \( A^t=  \overline{A} \). Aber wie gehe ich jetzt hier vor?

Answer 1

Das hast du ja:  \( A^t=  \overline{A} \)

Um zu zeigen, dass B=A^t hermitesch ist, musst du zeigen,

dass auch   \( B^t=  \overline{B} \) gilt. Etwa so :

\( B^t= (A^t)^t =( \overline{A} ) ^t = \overline{A^t} = \overline{B} \)

Mit \( B=  \overline{A} \) und B=A^-1entsprechend .

Comments

Vielen Dank.

für das zweite hätte ich dann:

B^konjugiert = (A^konjugiert)^konjugiert = (A^t)^konjugiert = A.

Denn es gilt ja A^t = A^konjugiert, da A hermitesch. Des Weiteren gilt: (A^konjugiert)^t = A ∀ A ∈ ℂ. Also B^konjugiert hermitesch, da A hermitesch, laut Annahme. q.e.d

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Richtig ist einerseits   B^konjugiert = (A^konjugiert)^konjugiert =  A.

Und andererseits weil A hermitisch A^konjugiert=A^t also

(A^konjugiert)^konjugiert =(A^t)^konjugiert =(A^konjugiert)^t =B^t .

Also B^konjugiert = B^t .  q.e.d.

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Dankeschön. Den Teil kann man sich aber eigentlich sparen, oder? Weil wenn die Annahme ist, dass A sowieso hermitesch ist, und man dann von B^konjugiert = A schließt, ist B doch automatisch hermitesch.

Beim dritten komme ich nicht weiter. B hermitesch, also gilt B^t = B^konjugiert.

Wenn A invertierbar, soll A^-1 hermitesch sein. Also setzen wir B = A^-1

Aber egal wie ich jetzt anfange, ob mit B^t =(und dann für B A^-1 einsetze) oder mit B^konjugiert = (und dann für B A^-1 einsetze), weiß ich nicht, wie ich da dann weitermache.

Was gilt: B^konjugiert = (A^-1)^konjugiert = (A^konjugiert)^-1

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Ich würde beginnen mit \(  B:=A^{-1}   \)

und der Behauptung \(  B^t =B^{konjugiert}  \)

Und dann einfach anfangen

\(  B^t =(   A^{-1}  )   ^t   =   ( A^{t}  )  ^{-1}     \)

Da A hermitisch ist, ist das

\( =(  A^{konjugiert}  )  ^{-1}     =  (  A^{-1}  )  ^{konjugiert} \)

\( =  B ^{konjugiert} \).  q.e.d.

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Super, dankeschön!!!