Berechnen Sie die Extremwerte der Funktionen: z(r,s) = 3r∙s^2 – r^2 - 6s^2 – 8r

Question

Hallo habe ein kleines Problem mit der Aufgabe:

 z(r,s) = 3r∙s² – r² - 6s² – 8r                                        Pmax (-4;0;16)

Um die Extremewerte zu finden muss man ja die Funktion ableiten und dann null setzten.

Irdendwie komme ich nicht auf dei Lösung!

Comments

Hi, poste doch mal die Ableitung!

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partiell nach r abgeleitet : 3s² - 2r-8

partiell nach s abgeleitet: 6rs - 12s

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Ok, soweit ist das richtig. Nun gleich Null setzen und auflösen, es gibt drei Lösungspaare. Darunter ist auch das angegebene.

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wenn ich eine gleichung null setzte habe ich 2 variablen die ich so nicht lösen kann.

wenn ich in der gleichung einer der variablen null setzte kriege ich z.b beim 2.

r=0:  -12s =0

ist das die lösung.

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Löse die erste Gleichung nach 2r auf und setze in die zweite ein.

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ich komme leider nicht auf die lösung.

ich habe raus: 9s³ - 36s = 0

s1= 0

s2= 4

s3= -4

 

?

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Und jetzt berechnest du zu 0 noch das r. (In eine der Gleichungen einsetzen)

Am Schluss kannst du beide Werte bei z(r,s) einsetzen um den Maximalwert zu bestimmen.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%28r%2Cs%29+%3D+3r∙s%5E2+–+r%5E2+-+6s%5E2+–+8r

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Deine Lösung ist nicht richtig.
Bitte klammere 9s aus und wende die dritte binomische Formel an.

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ich kommen immer auf -20 als endergebnis?

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ok. dann nimm halt noch 0 und 4. Mit 0 bekommst du hoffentlich ein grösseres Maximum. übrigens hat Ananym Recht: s2= 2 und s3=-2, wenn deine kubische Gleichung stimmt.

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also ich komme nicht auf die lösungen. könnt ihr mir einen lösungsvorschlag senden. danke

Answer 1

z(r, s) = 3·r·s^2 - r^2 - 6·s^2 - 8·r

dz/dr = - 2·r + 3·s^2 - 8

dz/dr^2 = -2

dz/ds = 6·r·s - 12·s

dz/ds^2 = 6·r - 12

- 2·r + 3·s^2 - 8 = 0
6·r·s - 12·s = 0

Lösungen:

r = 2 ∧ s = 2
r = 2 ∧ s = -2
r = -4 ∧ s = 0

Nur (-4,0) ist hier ein Maximum weil beide 2. Ableitungen dann negativ sind.

z(-4, 0) = 16
z(2, 2) = -20
z(2, -2) = -20

Das lokale Maximum liegt bei (-4, 0) und ist dort 16.

Comments

Hier nochmal die Lösung des Gleichungssystems:

- 2·r + 3·s² - 8 = 0
r = 1.5·s^2 - 4

6·r·s - 12·s = 0
6·(1.5·s^2 - 4)·s - 12·s = 0
9·s^3 - 36·s = 0
9·s·(s + 2)·(s - 2) = 0

s1 = 0, s2 = -2 oder s3 = 2

r1 = 1.5·0^2 - 4 = -4
r2 = 2
r3 = 2

Die Lösungspaare lauten damit wie oben angegeben:

r = 2 ∧ s = 2
r = 2 ∧ s = -2
r = -4 ∧ s = 0

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Danke an alle die mich "utnerstützt" haben :-)