Extremwerte einer mehrdimensionalen Funktion bestimmen. f (x, y) := 1/x^2 + 1/y^2 + x + y.

Question

Sei D := {(x, y) ∈ ℝ² : x > 0 und y > 0} und f : D → ℝ, f (x, y) := 1/x² + 1/y² + x + y.  Bestimme Lage und Art der lokalen Extrema.

Ich habe zunächst die partiellen Ableitungen bestimmt und diese Null gesetzt:

I.  -1/x² + 1 = 0

II. -1/y² + 1 = 0

Nun habe ich Schwierigkeiten dieses Gleichungssystem zu lösen um die Nullstellen zu bekommen um dann die Hesse-Matrix zu bilden.

Wie komme ich nun an die Nullstellen bzw. wie löse ich dieses Gleichungssystem?

Vielen Dank schon mal.

Comments

Ist das hier https://www.mathelounge.de/466353/kritischen-punkte-einer-funktion-bestimmen eigentlich der Versuch einer Fortsetzung von dieser Frage?

Dort stimmt auch etwas nicht bei den Ableitungen.

Answer 1

Hallo John_Doe,

I.  -1/x² + 1 = 0

II. -1/y² + 1 = 0

> Wie komme ich nun an die Nullstellen bzw. wie löse ich dieses Gleichungssystem?

Du hast doch hier einfach nur zwei Gleichungen mit jeweils einer Unbekannten:

→  x = ± 1  und  y = ± 1  

Also für das Gleichungssystem:

(x = -1 ∧ y = -1) ∨ (x = -1 ∧ y = 1) ∨ (x = 1 ∧ y = -1) ∨ (x = 1 ∧ y = 1) 

Das wären dann die 

kritischen Punkte:  (-1 | -1) ,  (-1 | 1) , ( 1 | -1 ) und ( 1 | 1)   (vgl.  aber Nachtrag)

Nachtrag: 

Hier kannst du dir den Graph deiner Funktion anschauen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize+1%2Fx%5E2+%2B+1%2Fy%5E2+%2B+x+%2B+y.

Der Unterschied der Lösungen liegt an deinen falschen partiellen Ableitungen:

f_x = 1 - 2/x³   = 0  →  x³ = 2  →  x = ³√2

 f_y = 1 - 2/y³                          →  y = ³√2

Einziger kritischer Punkt:  ( ³√2 | ³√2 )

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

kannst du mir vielleicht genauer zeigen, wie du auf die kritischen Punkte gekommen bist.

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Wenn du

I.  -1/x² + 1 = 0

hast, musst du nur die Gleichung lösen, etwa so:

-1/x² + 1 = 0    |  + 1/x²

            1 = 1/x²    | *x²

        x²  = 1

also x = +1           oder x = - 1

entsprechend für y.

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-1/x² + 1 = 0  ⇔ 1/x² = 1 ⇔ x² = 1  ⇔  x = ± 1

y analog:   y = ±1

Im System ginge  jeder dieser x-Werte mit jedem der y-Werte

Nachtrag:

Leider sind aber deine partiellen Ableitungen falsch, vgl. Antwort.

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@John_Doe

leider hatte deine "Vorarbeit" einen Fehler.

Schau nochmal in die ergänzte Antwort.