Extremwerte einer mehrdimensionalen Funktion mit NB berechnen

Question

Hi,

folgende Funktion ist gegeben.

f(x,y) = 2x + x²y - ln(y)

NB:

y = e^{2x}

l(x,y,λ) = 2x+x²y - ln(y)+λ(e^{2x}-y)

lx = 2 + 2xy + 2*λ*e^{2x}
ly = x² -(1/y) - λ
lλ= e^{2x} - y

λ= x² -1/y
y = e^{2x}

In erste Gleichung eingesetzt:

2 + 2xe^{2x} + 2(x²-(1/e^{2x}) e^{2x} = 0
2xe^{2x} + 2x²e^{2x} = 0

Wie berechne ich jetzt genau die Extremstellen?

Gruß

Comments

Tipp: unter der Nebenbedingung ist

f(x,y)=f(x,e^{2x})=f(x)=x^2 e^{2x}=(xe^x)^2

Answer 1

$$f(x,y)=2x+x^2y-ln(y)\\ NB:\space y=e^{2x}\\L(x,y,λ)=2x+x^2y-ln(y)+λ(e^{2x-y})\\ \begin{aligned}&1.\space L_{x}=2+2xy+2λe^{2x}&=0\\ &2.\space L_{y}=x^2-\frac{1}{y}-λ&=0\\ &3.\space L_{λ}=e^{2x}-y&=0\end{aligned}\\ ⇒\text{λ eliminieren}\\ ⇒2.'\space x^2-\frac{1}{y}-λ=0\\ ⇒2.'\space λ=x^2-\frac{1}{4}\\ ⇒\text{in 1.}⇒1.'\\ 2+2xy+2λe^{2x}=0\\ 2+2xy+2e^{2x}(x^2-\frac{1}{4})=0\\ 1.'=2+2xy+2x^2e^{2x}-2e^{2x}\cdot \frac{1}{y}=0\\ ⇒3. \quad e^{2x}-y=0⇒y=e^{2x}\\ in \space 1.'\\ 2+2x(e^{2x})+2x^2e^{2x}-2e^{\not{2x}}(\frac{1}{e^{\not{2x}}})=0\\ \not{2}+2xe^{2x}+2x^2e^{2x}-\not{2}=0\\ 2xe^{2x}+2x^2e^{2x}=0\\ e^{2x}(2x+2x^2)=0\\ ⇒e^{2x}=0\text{ und }2x+2x^2=0\\ \text{keine Lösung und}\quad x(2+2x)=0\\ x_1=0\qquad x_2=-1\\ ⇒y=e^{2x}\\ y_1=1\\ y_2=\frac{1}{e^2}$$

                                                                          

Comments

Danke für die Antwort.

Aber ein paar Sachen sind mir noch nicht ganz klar.

Wieso ist e^{2x} = 0? Was meinst du mit K. lsg?

Und warum ist dann x1 = 0 und x2 = -1?

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1.)Wieso ist e^2x = 0? Was meinst du mit K. lsg? 

keine Lösung

Und warum ist dann x1 = 0 und x2 = -1?

Satz vom Nullprodukt:

e^{2x}=0 ->keine Lösung

und

2x +2x^2=0

x(2 +2x)=0

wieder  Satz vom Nullprodukt:

x₁=0

->2 +2x=0

x₂= -1

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Okay, danke. War ja doch einfacher als ich dachte.

Answer 2

HB f(x,y) = 2x + x²y - ln(y)

NB: y = e^2x in HB einsetzen

f(x) = 2x + x²e^2x - ln(e^2x)= 2x + x²e^2x -2x=x²e^2x

Ableiten nach der Produktregel