Lagebeziehung Ebene Gerade

Question

ich war gerade dran mir ein kleines Regelheft zum Thema Lagebeziehung Ebene Gerade zu machen. Bin aber leider auf ein Problem gestoßen.

Es ist ja möglich, dass man nur den Normalvektor der Ebene gegeben hat und eine Gerade. 
Nun soll man gucken in welcher Beziehung Gerade und Ebene sich befinden. Hier ein Beispiel:

Der Normalvektor: (-2/1/2) und die Gerade h:x= (2/3/5)+s×(4/-2/-4)

Dadurch das der RV der Geraden und der Normalvektor kein Vielfachen voneinader sind kann die Gerade schon mal nicht die Ebene orthogonal durchstoßen.

Jedoch ist RV×n=0    und somit muss h entweder in der Ebene liegen oder parallel sein. Bis dahin verstehe ich alles.

Normalerweise würde ich nun eine Punktprobe machen, also ob der SV von h in der Ebene liegt. Ich habe aber leider keine Parameterform oder Koordinatenform gegeben. Wie gehe ich nun vor?

Ich hoffe ich konnte mein Problem möglichst gut verständlich beschreiben.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Christian

Answer 1

wenn nur der Normalenvektor der Ebene gegeben ist, ist die Ebene nicht eindeutig festgelegt. Dann kannst du nur die Parallelität festellen, nicht aber, ob die Gerade in der Ebene liegt.

Gruß Wolfgang

Comments

Okay,

ich dachte schon ich hätte was wichtiges übersehen. 
Also wäre das Ergebnis nun, parallel oder in der Ebene?

---

wenn  NV x RV = 0 gilt . Bei deinem Beispiel sind NV und RV parallel.

---

Ach ja klar stimmt,

wenn g in der Ebene liegen würden, wäre g ja auch automatisch parallel.

Vielen Dank für die schnelle Antwort :)

---

Wolfgang dürfte ich dich vielleicht noch etwas fragen?

---

Kann man wenn man nur Normalvektor und Gerade gegeben hat den Schnittpunkt ausrechnen?

---

nein,, da es unendlich viele Ebenen mit dem gleichen NV gibt (diese sind alle parallel zueinander), gibt es auch unendlich viele Möglichkeiten für den Schnittpunkt

---

Also kann man im allgemeinen, wenn man diese Konstellation aus Normalvektor und Gerade gegeben hat, nicht nachweisen das die Gerade die Ebene nicht orthogonal schneidet?

Sonder nur parallel oder die Gerade schneidet die Ebene orthogonal.

---

keineswegs :-) :

NV || RV   →  g ⊥ e  , Schnittpunkt = ?

NV ⊥ RV   →  g || e   ,  g ⊂ e   ?

ist beides nicht der Fall, schneidet die Gerade die nicht eindeutig gegebene Ebene unter einem unbekannten Winkel ≠ 90° mit unbekanntem Schnittpunkt

---

Okay verstanden,

vielen Dank für deine Bemühungen :)

Answer 2

Jedoch ist RV×n=0. Wieso das denn? (-2/1/2)·(4/-2/-4) = -8-2-8 = -18.

Solange nur der Normalenvektor bekannt ist, gibt es unendlich viele (parallele) Ebenen mit diesem Normalenvektor. Wenn wirklich RV×n=0, dann liegt die Gerade in einer dieser Ebenen und alle anderen Ebenen sind zu der Geraden parallel.

Comments

Ich habe gerade geschafft die falsche Gerade auf zu schreiben.

Es ist natürlich die grade g:x= (1/2/3)+s×(1/2/0)

Sorry :S