Was ist die Hin-und Rückrichtung folgender Äquivalenzrelation?

Question

Hallo.

Zuerst habe ich nach Aufgabe ein  Dreieck konstruiert mit den Seiten r,s,t. Nun soll gezeigt werden, dass die Aufgabe genau dann lösbar ist wenn: r+s>t, s+t>r Λ t+r>s

Dazu die blöde Frage, was ist hierbei die Hinrichtung und was die Rückrichtung? :0

Comments

Ist einmal "größer" die Hinrichtung und "kleiner" die Rückrichtung?

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Hin-

(r+s>t ) ==> ( s+t>r Λ t+r>s)

Rück-Richtung

(r+s>t )  <== (s+t>r Λ t+r>s)

Pfeile sollen Folgerungspfeile sein. 

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Danke :) Kann ich das mit der Dreiecksungleichung lösen?

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Was stimmt den nun? Die erste Antwort oder die anderen zwei? Bin verwirrt hehe

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Die anderen beiden sind richtig.

Du sollst ja die Äquivalenz:

 lösbar < ==> r+s>t, s+t>r Λ t+r>s stimmt

zeigen.

Und ja: Das rechts sind Dreiecksungleichungen.

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Danke :)

Ich verstehe nur diese Richtung nicht ganz: Eine Beweisichtung "wenn: r+s>t, s+t>r Λ t+r>s", dann gilt "die Aufgabe ist lösbar". Denn das Dreieck muss ich ja wegen der Aufgabenstellung eh am Anfang konstruieren? Dann ist ja klar das es lösbar ist oder wie gehe ich diesen Beweis vor?

Answer 1

Eine Beweisichtung "wenn: r+s>t, s+t>r Λ t+r>s", dann gilt "die Aufgabe ist lösbar".

Andere Beweisrichtung "wenn die Aufgabe lösbar ist", dann gilt  " r+s>t, s+t>r Λ t+r>s".

Alle drei Ungleichungen sind sog. Dreiecksungleichungen und gelten selbstverständlich in jedem Dreieck. Umgekehrt, wenn die drei Längen r, s und t die Dreiecksungleichungen erfüllen, dann lässt sich damit ein Dreieck konstruieren.

Answer 2

Du kannst dir die Reihenfolge von Hin- und Rückrichtung aussuchen.

Annahme: die Aufgabe ist lösbar. Dann zeige: r+s>t, s+t>r Λ t+r>s.

Annahme: r+s>t, s+t>r Λ t+r>s gilt für alle r, s, t. Dann zeige die Aufgabe ist lösbar.

Answer 3

Ich würde eine Konstruktion beschreiben und erklären, dass sie sicher klappen muss:

Beginne mit r. Zeichne um beide Enden einen Kreis mit Radius s , bzw. t.

Nun muss sicher sein, dass sich die beiden Kreise schneiden.

Da s+t > r , sind sie zusammen sicher nicht zu klein.

Es könnte aber noch sein, dass der eine Kreis (sagen wir der mit Radius s) so gross ist, dass der andere (mit Radius t) echt innerhalb vom ersten Kreis liegt. Dann würde aber folgen, dass r+t < s. Was gemäss Voraussetzung nicht erlaubt ist.

Umgekehrt geht es auch nicht. ==> Das Dreieck lässt sich konstruieren, qed

Comments

Super genauso habe ich das jetzt auch gemacht.. Nun hänge ich an an der anderen Richtung fest: Wenn die Aufgabe lösbar ist, dann gilt r+s>..........

Wie kann ich hierbei am besten vorgehen ? :0

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Wenn du ein Dreieck konstruieren kannst, kannst du (falls bekannt) verwenden, dass die kürzeste Verbindung zwischen 2 Punkten die Gerade (Strecke) ist. Da das Dreieck nicht einfach eine Strecke ist, gilt auf allen Seiten a < b+c also die drei verlangten Ungleichungen r < s+t usw.

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Ich habe totale Formulierungsprobleme. Genau das weiß ich schon seit Stunden und komme leider trotz dieser guten Hilfe nicht weiter, da ich immer im Kopf habe das es für mich Fakten sind das ist nicht wirklich eine Begründung... Denn bei mir würde das dann so klingen:

Da die Konstruktion laut Voraussetzung möglich ist, gilt die Dreiecksungleichung:

r+s>t entspricht B∉AC ⇔ l(AC)<l(CB)+l(BA) .....etc.

Mein anderer Ansatz ist: Da laut Voraussetzung die Konstruktion lösbar ist, gibt es einen Kreisschnittpunkt C∉AB, weswegen gilt: s-t<r<s+t mit s≥t, d.h. es lässt sich aus dieser Gleichung ablesen dass s+t>r ...dann fehlen mir aber noch t+r>s und r+s>t

??? Danke für deine Hilfe :)