Funktion f(x) = (x^3-px-q)/x wenn x≠0; 0 wenn x=0 soll stetig auf R sein

Question

Bestimme p und q, sodass die Funktion auf R stetig ist.

f(x) = (x³-px-q)/x wenn x≠0; 0 wenn x=0

Meine Idee:

f(1)= 1-p-q

f(-1) = - (-1+p-q)

f(1)=f(-1) --> q=0

q=0 in f(1) einsetzen --> p=1

Kann man die Aufgabe so lösen?

Comments

lim x −> 0  [ ( x^3 - px + q ) / x ] soll 0 sein

Wieso meinst du das wäre bei
f ( 1 ) = f (  -1 ) der Fall ?

Mein Vorschlag :
Normalerweise gibt  [ Wert / 0 ] immer etwas mit ∞
außer z.B. 0 / 0 dann kann L´Hospital angewandt werden

lim x −> 0  [ ( x^3 - px + q ) / x ]  =  ( x^3 - px + q )´  / x ´  = ( 3 * x^2 - p ) / 1
lim x −> 0 [ ( 3 * x^2 - p ) / 1 ]  => ( 3 * x^2 - p = 0 ) : 3 * 0^2 - p = 0  => p = 0

Eingangsvoraussetzung : 0 / 0  = > Zähler = 0
x^3 - q = 0
0^3 - q = 0
q = 0

f ( x ) = x^3 / x  für x ≠ 0
f ( x ) = 0  für x = 0
ist stetig

~plot~ x^3 / x ~plot~

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Stimmt, so kann man es machen. Ich habe vergessen, dass man die Regel von l´Hospital anwenden kann!

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Schön das meine Lösung deine Zustimmung findet.
War ja schon etwas mit Trick 17.

Answer 1

kannst doch auch einfach umschreiben:

für x ≠ 0 ist es f(x) = x³/x  - px/ x  -q/x = x^2 - p  -  q / x

Für x gegen 0 geht das falls  q ≠ 0 ist gegen ±∞.

Aber f(0) = 0 . Also muss für Stetigkeit bei 0 schon mal q = 0 sein.

Dann bleibt   f(x) = x^2 - p 

Für x gegen 0 geht das gegen - p   also muss auch p = 0 sein.

Comments

Warum genau muss p=0 gelten?

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wenn du hast f(x) = x² - p 

dann ist ja der Grenzwert für x gegen 0 jedenfalls das p.

Der Grenzwert muss aber gleich dem Funktionswert f(0) sein

und der ist ja als 0 in der Def. der Funktion vorgegeben.

Also muss p=0 sein.