Allgemeiner Stetigkeitsbeweis für den Betrag. g(x):= | f(x) | soll stetig sein, wenn f stetig ist.

Question

ich habe ein Problem bei einer meiner Aufgabe für die Uni.

Hier ist die Aufgabenstellung:

Leider habe ich gar keine Idee wie ich überhaupt anfangen soll, außer einmal für f(x) und -f(x) zu zeigen, dass die beiden stetig sind, jedoch auch da keine Ahnung wie ich das beweisen soll. (Mir liegt leider auch nicht der allgemeine Beweis vor, finde ihn auch leider nicht im Internet)

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Sei D ⊆ ℝ. Sei f : D--> ℝ eine Funktion. Wir definieren die Funktion g : D --> ℝ durch g(x):= |f(x)|

(i) Beweisen Sie mit ϵ und δ: Ist f stetig, dann ist g auch stetig.

(ii) Gilt die Rückrichtung in (i). Begründen Sie Ihre Antwort.

Answer 1

Tipp: schreibe die Definition der Stetigkeit von f auf. Untersuche nun g auf Stetigkeit und verwende die Dreiecksungleichung.

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Die Dreiecksungleichung wurde hier auch vorgeschlagen: https://www.mathelounge.de/299699/stetigkeit-betrag-stetigen-funktion-nachweisen-intervall

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Danke :) das hilft mir erstmal