Sei D ⊆ R. Sei f eine Funktion. g : D → R durch g(x) := |f(x)|.

Question

Sei D ⊆ R. Sei f : D → R eine Funktion. Wir definieren eine Funktion
g : D → R durch g(x) := |f(x)|.
(i) Beweisen Sie mit ϵ und δ: Ist f stetig, dann ist g auch stetig. 
(ii) Gilt die Rückrichtung in (i)? Begründen Sie Ihre Antwort.

Answer 1

Gegenbeispiel zur Rückrichtung:

Sei $$g(x)=\begin{cases} 1, & \text{für } x \ge0 \\ -1, & \text{für } x<0 \end{cases}$$

f(x)=|g(x)| ist überall konstant 1 und somit stetig, obwohl g(x) nicht überall stetig ist.