Φ(x) := min(f(x), g(x)) soll stetig sein

Question

Aufgabe:

Sei D ⊂ R und f, g : D → R stetige Funktionen. Zeigen Sie, dass dann auch
Φ(x) := min(f(x), g(x))
stetig auf D ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht so ganz wie ich vorgehen sollte...

Answer 1

Man muss wohl für die Stetigkeit von Φ an einer Stelle xo zwei Fälle unterscheiden:

1.  f(xo) ≠ g(xo)  etwa o.B.d.A    f(xo) < g(xo)

wegen der Stetigkeit von f und g stimmt also Φ in einer ganzen Umgebung

von xo mit f überein, ist somit stetig in xo.

2.   f(xo) = g(xo)  dann gibt es wegen der Stetigkeit von f und g

in xo zu jedem ε>0  ein δ1 und ein δ2 mit

| f(xo) - f(x)| <  ε  und  | g(xo) - g(x)| <  ε  für

alle x mit  |x-xo| < min( δ1; δ2) . und da ja

Φ(x) entweder f(x) oder g(x) ist, gilt dann auch

| Φ(xo) - Φ(x) | <   ε .