Zeige: Minimum der Menge M:={x € [a,b] : f(x) = A} existiert, wenn f stetig und ...

Question

Aufgabe:

Es sei \( f:[a, b] \rightarrow \mathrm{R} \) stetig und \( f(a)<f(b) \). Zeige, dass für jedes \( \alpha \in[f(a), f(b)] \) die Menge

\( M:=\{x \in[a, b]: f(x)=\alpha\} \)

ein Minimum besitzt.

Comments

Du sollst zeigen, dass es ein kleinstes x gibt mit f(x) = A und denen angegebenen Eigenschaften.

Gemäss Zwischenwertsatz (EDIT) stetige Funktion (GENAUE BEZEICHNUNG AUS SKRIPT ERGAENZEN)

wird jedes A (=Alpha) zwischen f(a) und f(b) auf angenommen auf [a,b].

Daher enthält M schon mal mindestens ein x. 

Selbst, wenn es 2 oder mehr sind, gilt da R geordnet und [a,b] beschränkt (EDIT) und abgeschlossen ist, dass eines von ihnen das Minimum ist. ==> M enthält ein Minimum. qed. (2. Teil solltest du vielleicht noch ausführlicher erklären.

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"Gemäss Mittelwertsatz stetige Funktion"
Du meinst sicher den Zwischenwertsatz.

"Selbst, wenn es 2 oder mehr sind, gilt da R geordnet und [a,b] endlich und abgeschlossen ist, dass eines von ihnen das Minimum ist."
So einfach geht das nicht. Erstens ist [a,b] nicht endlich, zweitens hätte ja mit dieser Begründung jede Teilmenge von \(\mathbb{R}\) ein Minimum.
Man muss zeigen, dass das Infimum der Menge M (das offensichtlich existiert) auch in M enthalten ist. Dafür könnte man eine Folge \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq M\) nehmen mit \(x_n\to \inf(M)\) und dann die Stetigkeit von f benutzen, um zu zeigen, dass \(\inf(M)\in M\) gilt.

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Danke Nick! Habe deine Begriffe in meinem Kommentar oben so weit ich dich verstanden habe korrigiert.

Allerdings ist [a,b] abgeschlossen und beschränkt. Man kann die x-en der Grösse nach ordnen. Wie soll denn eine Folge in [a,b] einen Grenzwert haben der kleiner als a ist? Der kleinste dieser x-en muss doch in [a,b] liegen.

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Wir wissen erstmal nur, dass M Teilmenge von [a,b] ist. M könnte doch aber (theoretisch) beispielsweise ein offenes Intervall sein, das natürlich kein Minimum besitzt. Dass das nicht möglich ist, muss man hier zeigen.

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Ok. Besten Dank. Da hilft dann ja hoffentlich dein Weg mit den Teilfolgen und mit der Stetigkeit.