Zeige, dass dann f auf K das Maximum und Minimum existiert,

Question

Es sei (X,d) ein metrischer Raum, K ⊂ X einen kompakte Teilmenge und f : X → ℝ eine stetige Funktion. Zeige, dass dann f auf K das Maximum und Minimum existiert, d. h. ∃a,b ∈ K f (a) = inf{ f (x) : x ∈ K}, f (b) = sup{ f (x) : x ∈ K}.

Comments

Welche Definition der Kompaktheit wird verwendet (eine ist nämlich exakt jene, um welche sich die Aufgabe dreht)?

Answer 1

Das ist der Satz von Weierstraß oder auch Satz vom Minimum und Maximum. Der ist eigentlich relativ simpel. Das Bild vom stetigen reellwertigen Funktionen unter einer kompakten Teilmenge ist kompakt. Damit auch in den reellen Zahlen beschränkt und abgeschlossen. Die beschränktheit garantiert die die Existenz des Supremums und des Infinums und die Abgeschlossenheit dann entsprechend, dass dieses Supremum bzw. Infimum von deiner Funktion angenommen wird.

Hier ist dann möglicherweise, je nach dem ob ihr das schon hattet, zu zeigen, dass Bilder von stetigen Funktionen unter kompakter Menge kompakt sind. Das geht aber einfach mit der Definition über Teilfolgen zu beweisen.