Prüfe, ob eine Minimumstelle von f existiert

Question

Aufgabe:

Die stetige Funktion f: ℝⁿ-> ℝ erfülle \( \lim\limits_{IxI\to\infty} \) f(x) = +∞, d.h. zu jedem M gibt es ein ℝ so dass f(x)≥ M für alle x mit IxI≥ R. Prüfe, ob eine Minimumstelle von f existiert.

Answer 1

Sei \(r \in \mathbb{R}\), so dass \(f(x) \geq f(0)\) für alle \(x\) mit \(|x|\geq r\).

Ferner sei \(A = \{x\in \mathbb{R}: |x| \leq r\}\).

Dann ist \(A\) kompakt, also \(f(A)\) kompakt. Somit hat \(f(A)\) ein Minimum.

Dieses Minimum ist Minimum von \(f\).