Existiert das Minimum?

Question

Aufgabe:

Es seien (M, d) ein metrischer Raum, A ⊆ M kompakt und x ∈ M. Begründe,
weshalb das Minimum d(x, A) := min{d(x, a) | a ∈ A} existiert.

Problem/Ansatz:

Ich überlege wie ich diese Behauptung beweisen kann. Es gilt ja, dass Kompakta ihre Maxima und Minima enthalten. Habt ihr vielleicht eine Idee? Vielen Dank im Voraus :)

Comments

Es gilt ja, dass Kompakta ihre Maxima und Minima enthalten.

Nein. Stetige reelle Bilder von Kompakta enthalten Max und Min.

Answer 1

Wir halten \(x \in M\) fest und betrachten \(f:M \to \R, \quad f(y):=d(x,y)\). Wir zeigen, dass f stetig ist:

Für beliebige \(y,y' \in \) gilt

$$d(x,y) \leq d(x,y')+d(y',y) \Rightarrow d(x,y)-d(x,y') \leq d(y',y)=d(y,y')$$

$$d(x,y') \leq d(x,y)+d(y,y') \Rightarrow d(x,y')-d(x,y) \leq d(y,y')$$

Zusammen

$$|f(y)-f(y')|=|d(x,y)-d(x,y')| \leq d(y,y')$$

Also ist f stetig, sogar Lipschitz-stetig. Daher nimmt f auf dem Kompaktum A ein Minimum an.