Basis von Kern und Bild bestimmen.

Question

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter:

Bestimme falls möglich eine Basis von Kern und Bild.

a) T: lR³-> lR³,

Ich muss außerdem die T (x) auf Linearität überprüfen ( hier in diesem Falle kein Problem).

Aber wie bestimme ich eine Basis von Bild/Kern?

b)

) 

Hier muss ich ebenfalls T (x) auf Linearität überprüfen, aber meiner Meinung nach trifft es nicht zu. Ich kann somit kein Bild/ Kern bestimmen, oder habe ich da etwas falsch verstanden ?

Answer 1

> Aber wie bestimme ich eine Basis von Bild/Kern?

Löse die Gleichung T(x) = 0. Eine Basis des Kernes springt dir dann regelrecht ins Gesicht.

Ein Erzeugendensystem des Bildes ist {(1 1 2)^T, (3 3 6)^T, (-2 -2 -4)^T}.

1. Prüfe ob sich ein Vektor des Erzeugendensystems als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen läst. Falls nicht, dann ist das Erzeugendensystem eine Basis.
2. Falls doch, dann erntferne den Vektor aus dem Erzeugendensystem.
3. Goto 1.
   

Comments

Zum Bild:

Habe die Schritte gemacht und jz bleibt nur noch der Vektor (1,1,2)^T übrig. Aber das kann ja keine Basis sein ...

Und zum Kern:

Habe das LGS  gelöst:

Bekomme 2 Vektoren und zwar (2,0,1)^T und (-3,1,0)^T

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> bleibt nur noch der Vektor (1,1,2)^T übrig. Aber das kann ja keine Basis sein ...

Warum glaubst du, dass das nicht eine Basis des Bildes sein kann?

> Bekomme 2 Vektoren und zwar (2,0,1)^T und (-3,1,0)^T

Nun ja, eigentlich bekommst du eine ganze  Menge von Vektoren. Nämlich alle Vektoren, die sich als Linearkombination von (2,0,1)^T und (-3,1,0)^T darstellen lassen. Jetzt rate mal, was eine Basis des Kerns ist.

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> b) ... aber meiner Meinung nach trifft es nicht zu.

Deine Meinung (a.k.a. Vermutung) ist richtig. Das musst du natürlich noch begründen.

> Ich kann somit kein Bild/ Kern bestimmen

Natürlich kannst du Kern und Bild bestimmen. Diese zwei Begriffe sind nicht auf lineare Abbildungen beschränkt.

Allerdings sind Kern und Bild von nicht-linearen Abbildungen nicht unbedingt Untervektorräume. Also kann es sein, dass Kern und Bild überhaupt keine Basen haben. Im vorliegenden Fall sind Kern und Bild aber Untervektorräume (trotz fehlender Linearität), so dass der Angabe von Basen nichts im Wege  steht.

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Wie müsste ich denn angehen, um bei der b) die Basis vom Kern und Bild zu bestimmen?

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Für den Kern: Löse die Gleichung T(x) = 0.

Tipp: (x_k)² ≥ 0. Wie muss dann x aussehen, damit ∑(x_k)² = 0 ist?

Für das Bild: Hab mich vertan, ist kein Vektorraum. Zum Beispiel ist 1 im Bild von T, aber -1·1 nicht.