gehört die ebene F zur ebenenschar Ea

Question

F: 7x₁-2x₂+9x₃=3

Fa: (2+a)x₁-x₂+(3+a)x₃=a

1. Prüfen Sie, ob die Ebene F zu der Ebenenschar Ea gehört.

Ich habe herausgefunden, dass die Ebenen für a=3/2 identisch sind und sich für a≠3/2 in einer Schnittgeraden schneiden, die ich jetzt aber nicht berechnet habe.

Stimmt das soweit und ist das hier überhaupt gefragt? So richtig weiß ich nicht was mit "gehört zu der Ebenenschar" gemeint ist.

2. Bestimmen Sie die Anzahl der Achsenabschnittspunkte der Ebenenschar Ea in Abhängigkeit von a.

Für a=-2 und a=-3 gibt es jeweils zwei Achsenabschnittspunkte und für a=0 schneidet die Ebene ja den Nullpunkt, also keine Achsenabschnittspunkte. Und für a≠-2, a≠-3 und a≠0 gibt es jeweils drei Achsenabschnittspunkte.

Stimmt das? Es gibt nämlich 6 Bewertungseinheiten auf diese Aufgabe, also verhältnismäßig viel bei unserem Abi.

Vielleicht kann jemand mal drüber schauen!

Answer 1

Hi!

Zu 1.)

Prüfen Sie, ob die Ebene F zu der Ebenenschar Ea gehört.

Das hast du richtig.

-> Die Ebene liegt in der Schar. ( für a=3/2)

2.)

Hier kann man die Achsenabschnittsform der Ebene verwenden:

(2+a)x₁-x₂+(3+a)x₃=a      |:a

(2+a)/a *x₁ -1/a *x₂ + (3+a)/a *x₃ =1

Für a=0 sind alle Koeffzienten undefiniert -> keine Achsenabschnitte

Für a= -2 gibt es keinen Achsenabschnitt der x₁-Achse

Für a= -3 gibt es keinen Achsenabschnitt der x₃-Achse

3 Achsenabschnitte für  a≠0,a≠ -2, a≠ -3

Comments

Und für a ungleich 3/2 gehört die ebene nicht zur schar?

---

Nein.

Nur für a=3/2 ist die Ebene Teil der Schar.

---

Was heißt Teil der Schar?

---

Eine Ebene ist nicht Teil der Schar, wenn sie die Schar zb nur schneidet.

Wenn die Normalenvektoren von Ebene und Schar gleich, bzw. vielfache voneinander sind (was hier für a=3/2 der fall ist), so schneiden sich die Ebenen nicht in einer gerade, womit die Ebene Teil der Schar ist.

---

Simon: "Teil" der Schar heisst dasselbe wie "Element der Schar" = "gehört zur Schar".

Answer 2

Stimmt das soweit und ist das hier überhaupt gefragt? So richtig weiß ich nicht was mit "gehört zu der Ebenenschar" gemeint ist.

Eine Schar von Ebenen ist eine Menge von Ebenen: Für jedes a könnte sich eine eigene Ebene ergeben.

Ea: (2+a)x₁-x₂+(3+a)x₃=a

F: 7x₁-2x₂+9x₃=3

F gehört zur Schar Ea, wenn F ein Element der Ebenenmenge ist, die die Schar bildet.

Du schreibst einfach: F gehört zur Schar, da E_3/2 = F. fertig.

2.

Fa: (2+a)x₁-x₂+(3+a)x₃=a

Achsenabschnittspunkte:

x_(1)-Achse (2+a)x₁=a

x1 = a/(2+a) , falls a≠-2. P(a/(a+2) , 0,0) falls a≠-2

Falls a= -2: kein 1. Achsenabschnittspunkt

x2-Achse

-x₂=a

x2 = -a

Q(0|-a|0)  ist 2. Achsenabschnittspunkt

x3-Achse

(3+a)x₃=a 

x3 = a/(3+a)  , falls a ≠ -3

R(0|0| a/(3+a)) ,falls a≠-3

Falls a = -3 : kein 3. Achsenabschnittspunkt. 

Comments

Zu 1)

Ist es richtig dass es für a ungleich 3/2 eine schnittgerade gibt?

---

Es gibt immer dann eine Schnittgerade, wenn die Ebenen nicht parallel zueinander sind. 

Ich würde da mal noch das Kreuzprodukt der beiden Normalenvektoren ausrechnen:

(7 | -2 | 9) x ( 2+a | -1 | 3+a )

= ( -2(3+a) + 9 | -(7(3+a) - 9(2+a) ) |  -7 + 2(2+a) )

= ( -6 - 2a + 9 | - ( 21 + 7a - 18 - 9a)  | -7 + 4 + 2a }

= ( 3- 2a | -( 3 - 2a) | -3 + 2a )    | für a≠3/2

= ( 1 | - 1 | -1)

D.h. es kommt nie der Nullvektor raus, ausser bei a = 3/2.

==> Die Ebenen aus Ea schneiden F in einer Geraden, wenn a ≠ 3/2.