Polynome im Vektorraum

Question

wir bearbeiten im Moment in Mathe 2 dass Thema Vektorräume. Bis jetzt war auch alles ziemlich einfach nur bei der folgenden Aufgabe habe ich nicht ml mehr im Ansatz eine Idee was ich da betreiben soll :(

Wäre cool wenn mich einer auf eine Idee bringen könnte , vielleicht auch mit ner kleinen Erläuterung.

Answer 1

Du musst die Vektorraumaxiome überprüfen. Etwa

(p+q)+r = p+(q+r)

Dazu gehst du auf die def. zurück

((p+q)+r) (x)  = Summe i=0 bis n ( p_i + q_i ) * xⁱ +  r(x)

                   = Summe i=0 bis n  [ ( p_i + q_i )  + ri )* xⁱ

Das rote sind Elemente von IR. da gilt das Assoziativges. also

=    = Summe i=0 bis n  [ ( p_i + (q_i   + ri ))* xⁱ  

und dann zurück gibt

= (p+(q+r)) (x) 

Ähnlich geht es bei den anderen Axiomen auch. Du kannst es auf

IR zurückspielen.

Comments

Danke für die Hilfe ich werde mich da morgen mal dran versuchen :)

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Hallo nochmal , ich bin leider erst heute dazu gekommen weiter zu machen nur ich befürchte , dass ich das noch nicht ganz verstanden habe. Also du hast ja das Assoziativgesetz 1 gezeigt. Wenn ich jetzt zum Beispiel dass kommutativgesetz 1 nachweisen möchte ist dass doch ziemlich trivial oder nicht ? Dass wäre doch quasi nur , Summe von i=0 bis n (pi+qi)x^i = Summe von i=0 bis n (qi+pi)x^i = (q+p)(x).

Oder bin ich auf dem Holzweg ?

Und hast du vielleicht eine Idee mit der Skalarmultiplikation ?

  :)

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Ne, deine Überlegung ist richtig; Ich würde nur deutlich machen,

dass Summe von i=0 bis n (pi+qi)xⁱ = Summe von i=0 bis n (qi+pi)xⁱ 

gilt, weil letztlich  p_ixⁱ + q_ixⁱ  = q_ixⁱ + p_ixⁱ auf das Kom. ges.

für reelle Zahlen zurückgeführt wird.

Und hast du vielleicht eine Idee mit der Skalarmultiplikation ?

zu zeigen   z.B.

s*(p+q) = s*p + s*q    für s aus IR und p,q aus P_n. 

Da nimmst du wieder die entsprechenden Definitionen und

führts es auf die Körperaxiome in IR zurück.

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Alles klar , danke ich versuchs nochmal. Kleine Frage noch: Was heißt eigentlich IR ?

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Ich schreib immer IR für die Menge der reellen Zahlen.

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Achso hab mich schon gewundert dass ich da nichts zum im Internet gefunden :D

Hab jetzt auch fast alle axiome geschafft nur bei dem Assoziativgesetz(multi.) komme ich nicht weiter , hast du da vielleicht noch nen Tipp für ?

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meinst du das:

s*(t*p) = (s*t)*p  für s,t aus IR und p aus P_n ?

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Ja genau das

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Du musst zeigen, dass für alle x asu IR gilt

(s*(t*p) )(x) = ((s*t)*p) (x)  für s,t aus IR und p aus P_n ?

wende einfach die Def. an:

( s * (t*p))(x)

= s* (t*p)(x)      nach Def. von  Lambda*p

= s* summe i =0 bis n über t*p_i*xⁱ  dann Distributiv. in IR

=summe i =0 bis n über   s*( t*p_i*xⁱ  )  asoz. in IR

=summe i =0 bis n über  (s* t)*(p_i*xⁱ  )  wieder Def. von Lambda *p mit lambda=s*t

und fertig.