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Basis eines Vektorraums von Polynomen
Um die Basis des Vektorraums \(V\) der Polynome vom Grad kleiner oder gleich drei zu bestimmen, die durch die gegeben Polynome \(P_1(x) = x^3 - x + 1\), \(P_2(x) = x^3 - 1\) und \(P_3(x) = x^2 - x\) aufgespannt wird, müssen wir zuerst die Monome betrachten, aus denen diese Polynome bestehen.
Die Monome der gegebenen Polynome sind \(x^3\), \(x^2\), \(x\) und die Konstante \(1\). Also können die Polynome im Vektorraum \(V\) durch eine Linearkombination der Basisvektoren \(x^3\), \(x^2\), \(x\), und \(1\) dargestellt werden. Das bedeutet, dass eine Basis von \(V\) aus diesen Monomen besteht: \(B = \{x^3, x^2, x, 1\}\).
Überprüfung der linearen Unabhängigkeit
Um zu überprüfen, ob diese Monome linear unabhängig sind, müssen wir überprüfen, ob die einzige Lösung der Gleichung \(a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d\cdot 1 = 0\) (wobei \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) Skalare sind) die triviale Lösung ist, d.h. \(a = b = c = d = 0\).
Da jedes Monom von den anderen verschieden ist und sie unterschiedliche Grade haben, kann kein Monom als Linearkombination der anderen ausgedrückt werden. Dies impliziert, dass \(a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d\cdot 1 = 0\) nur erfüllt ist, wenn \(a = b = c = d = 0\), da andernfalls auf der linken Seite ein Polynom vom Grad 3, 2, 1 oder 0 stehen würde, was nicht Null sein kann, außer alle Koeffizienten sind Null.
Somit sind \(x^3\), \(x^2\), \(x\) und \(1\) linear unabhängig, und \(B = \{x^3, x^2, x, 1\}\) ist tatsächlich eine Basis des Vektorraums von Polynomen mit Grad ≤ 3.
Es ist wichtig zu erkennen, dass die lineare Unabhängigkeit hier auf der Einzigartigkeit der Monome basiert – keine Kombination von ihnen, außer der trivialen Kombination, wo alle Koeffizienten Null sind, ergibt das Nullpolynom. Damit ist gezeigt, dass die Basisvektoren \(B = \{x^3, x^2, x, 1\}\) den Vektorraum \(V\) aufspannen und linear unabhängig sind, womit sie eine gültige Basis für \(V\) bilden.