Wie berechne ich Polynome mit dem Grad 3 im Vektorraum und ihr lineare (Un-)Abhängigkeit?

Question

wie gebe ich für die gegebenen Polynome im reellen Vektorraum vom Grad kleiner oder gleich drei die Basis von V an und aus welchen Monomen besteht diese?

Und wie zeige ich, dass diese linear unabhängig sind? Tu mich mit dem ³ etwas schwerer.

P1(x) =x³-x+1,

P2(x)=x³-1

P3(x)=x²-x

Vielen lieben Dank

Answer 1

Ich vermute mal, dass das folgendermassen gemeint ist.

Basis: f(x) = 1, g(x) = x, h(x) = x^2, k(x) = x^3

P1(x) =x³-x+1,

P2(x)=x³-1

P3(x)=x²-x

Bei linearen Abh. müsste
a(x^3 -x + 1) + b(x^3 - 1) + c(x^2 - x) = 0 nichttrivial lösbar sein.

(a+b)x^3 + cx^2 -(a+c)x + (a-b)*1 = 0 . Da Basis x^3, x^2, x, und 1, gilt

a+b=0
c=0
a+c= 0
a-b=0

a+b=0
c=0
a+0= 0 → a=0
a-b=0 → b=0

Also zwingend a=b=c=0. Widerspruch zu lin. abh.

==> Es gibt keine nichttriviale Lösung. Die 3 Funktionen sind linear unabhängig.

Comments

ah ok, jetzt habe ich es verstanden, das hat mir echt sehr geholfen.

danke, aber eine frage habe ich dazu doch noch,

wie ergänze ich zu {p1,p2,p3}die Menge zu einer Basis von v?

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Am Einfachsten schaust du, welcher der einfachen Basisvektoren f(x) = 1, g(x) = x, h(x) = x², k(x) = x³ sich nicht als Lin.komb. von P1, P2, P3 darstellen lässt. Den kannst du zur Ergänzung deiner Basis dann nehmen.

aP1 + bP2 + c P2 = f(x)

aP1 + bP2 + c P2 = g(x)

aP1 + bP2 + c P2 = h(x)

aP1 + bP2 + c P2 = k(x)

Answer 2

Antwort mit KI erzeugt

Basis eines Vektorraums von Polynomen

Um die Basis des Vektorraums \(V\) der Polynome vom Grad kleiner oder gleich drei zu bestimmen, die durch die gegeben Polynome \(P_1(x) = x^3 - x + 1\), \(P_2(x) = x^3 - 1\) und \(P_3(x) = x^2 - x\) aufgespannt wird, müssen wir zuerst die Monome betrachten, aus denen diese Polynome bestehen.

Die Monome der gegebenen Polynome sind \(x^3\), \(x^2\), \(x\) und die Konstante \(1\). Also können die Polynome im Vektorraum \(V\) durch eine Linearkombination der Basisvektoren \(x^3\), \(x^2\), \(x\), und \(1\) dargestellt werden. Das bedeutet, dass eine Basis von \(V\) aus diesen Monomen besteht: \(B = \{x^3, x^2, x, 1\}\).

Überprüfung der linearen Unabhängigkeit

Um zu überprüfen, ob diese Monome linear unabhängig sind, müssen wir überprüfen, ob die einzige Lösung der Gleichung \(a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d\cdot 1 = 0\) (wobei \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) Skalare sind) die triviale Lösung ist, d.h. \(a = b = c = d = 0\).

Da jedes Monom von den anderen verschieden ist und sie unterschiedliche Grade haben, kann kein Monom als Linearkombination der anderen ausgedrückt werden. Dies impliziert, dass \(a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d\cdot 1 = 0\) nur erfüllt ist, wenn \(a = b = c = d = 0\), da andernfalls auf der linken Seite ein Polynom vom Grad 3, 2, 1 oder 0 stehen würde, was nicht Null sein kann, außer alle Koeffizienten sind Null.

Somit sind \(x^3\), \(x^2\), \(x\) und \(1\) linear unabhängig, und \(B = \{x^3, x^2, x, 1\}\) ist tatsächlich eine Basis des Vektorraums von Polynomen mit Grad ≤ 3.

Es ist wichtig zu erkennen, dass die lineare Unabhängigkeit hier auf der Einzigartigkeit der Monome basiert – keine Kombination von ihnen, außer der trivialen Kombination, wo alle Koeffizienten Null sind, ergibt das Nullpolynom. Damit ist gezeigt, dass die Basisvektoren \(B = \{x^3, x^2, x, 1\}\) den Vektorraum \(V\) aufspannen und linear unabhängig sind, womit sie eine gültige Basis für \(V\) bilden.