Nun, du sollst nicht zeigen, dass "U1 + U2 in R3 gelten", sondern dass sowohl U1 als auch U2 Unterräume des R³ sind. Das zeigst du, indem du zeigst, dass U1 bzw. U2 die 3 Unterraumkriterien erfüllen. Diese sind:
1) U ≠ ∅
2) u, v ∈ U => ( u + v ) ∈ U (Abgeschlossenheit bezüglich der Addition)
3) a ∈ R, u ∈ U => a * u ∈ U (Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation)
Zu U1:
1) U1 ≠ ∅ , denn z.B. ( 1 | - 2 | 1 ) ∈ U1, da 1 + ( - 2 ) + 1 = 0
2) u, v ∈ U1 => u1 + u2 + u3 = 0 ∧ v1 + v2 + v3 = 0
=> u1 + u2 + u3 + v1 + v2 + v3 = 0
=> u1 + v1 + u2 + v2 + u3 + v3 = 0
=> u + v = ( u1 + v1 | u2 + v2 | u3 + v3 ) ∈ U1
3) a ∈ R , u ∈ U1 => u1 + u2 + u3 = 0
=> a * u1 + a * u2 + a * u3 = 0
=> a * u = ( a * u1 | a * u2 | a * u3 ) ∈ U1
Damit ist gezeigt: U1 ist ein Unterraum des R3
Bei U2 macht man es ganz ähnlich.