Wie beweise ich, dass U1+U2 in |R^3 gilt?

Question

Wie beweise ich, dass

U1:= {(a1,a2,a3) Element |R^3 |a1+a2+a3=0}

und

U2:= {(µ,µ,µ)| µ Element |R}


im reellen Vektorraum in |R^3 gilt?

Answer 1

Nun, du sollst nicht zeigen, dass "U1 + U2 in R³ gelten", sondern dass sowohl U1 als auch U2 Unterräume des R³ sind. Das zeigst du, indem du zeigst, dass U1 bzw. U2 die 3 Unterraumkriterien erfüllen. Diese sind:

 

1) U ≠ ∅

2) u, v ∈ U => ( u + v ) ∈ U (Abgeschlossenheit bezüglich der Addition)

3) a ∈ R, u ∈ U => a * u ∈ U  (Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation)

 

Zu U1:

1) U1 ≠ ∅ , denn z.B. ( 1 | - 2 | 1 ) ∈ U1, da 1 + ( - 2 ) + 1 = 0

2) u, v ∈ U1 => u1 + u2 + u3 = 0 ∧ v1 + v2 + v3 = 0

=> u1 + u2 + u3 + v1 + v2 + v3 = 0

=> u1 + v1 + u2 + v2 + u3 + v3 = 0

=> u + v = ( u1 + v1 | u2 + v2 | u3 + v3 ) ∈ U1

3) a ∈ R , u ∈ U1 => u1 + u2 + u3 = 0

=> a * u1 + a * u2 + a * u3 = 0

=> a * u = ( a * u1 | a * u2 | a * u3 ) ∈ U1

Damit ist gezeigt: U1 ist ein Unterraum des R³

Bei U2 macht man es ganz ähnlich.

Comments

Oh super vielen Dank.....ich kann die Formeln immer nicht im aktuellen einsetzen.

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Habe ich dann auch damit gezeigt, dass U1 + U2 = R^3 gilt?

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Nein, das nicht..