Differenzierbarkeit = Umkehrbarkeit?

Question

Hi, ich habe eine Frage bezüglich der Differenzierbarkeit:

Man kann doch auch so argumentieren, dass eine Funktion für verschiedene x denselben Funktionswert hat und sie deswegen nicht differenzierbar ist, oder?

Weil wie ich es verstanden habe muss eine Funktion differenzierbar sein, damit sie umkehrbar ist. Also quasi Differenzierbarkeit = Umkehrbarkeit, oder habe ich da was falsch verstanden?

Comments

Die Funktion f(x) = x² ist aber an der Stelle x0 = 0 nicht differenzierbar. Kann man dann trotzdem sagen, dass die Funktion differenzierbar ist?

---

Wie kommst du da drauf?

---

Warum nicht?

 f(x) = x² 

f'(x) = 2x

an der Stelle  x0 = 0 gilt f ' (0) = 2*0 = 0. Die Steigung ist wohldefiniert und 0. 

---

Achso ist das, also muss sie nur ableitbar sein. Ich dachte die Steigung linksseitig und rechtsseitig der Stelle müsste gleich sein.Wie wäre es denn bei f (x) = |x|*ln |x| (für x ungleich 0) und f (x) = 0 ( für x gleich 0). Wäre dann hier die Funktion nicht differenzierbar, weil von ln |x| die Ableitung |1/x| wäre und man nicht durch 0 teilen darf?

---

y = x^2
Diese Funktion ist diff-bar
y´ = 2 *x

Nehme ich an das x = 2 ist dann ist y = 4.
Eine Funktion muß einen ( nur 1 ) Funktionswert haben

Umkehrfunktion
Gehe ich bei y = 4 in die Grafik kann ich die Funktionswerte
x = 2 und x = -2 ablesen. Es gibt also mehr als 1 Funktionswert.
y = x^2  | tauschen
x = y^2
y = ± √ x
Dies ist keine Funktion mehr.

~plot~ x^{2};4 ; [[ -4 | 4 | -1 | 6 ]] ~plot~

Answer 1

Mein erstes Gegenbeispiel ist  f(x) = y = x^2.

Mit y ' = 2x ist die Funktion differenzierbar, aber wegen

 f(-3) = f(3) = 9 ist die Funktion nicht injektiv.

Answer 2

Wie wäre es denn bei f (x) = |x|*ln |x| (für x ungleich 0) und f (x) = 0 ( für x gleich 0). Wäre dann hier die Funktion nicht differenzierbar, weil von ln |x| die Ableitung |1/x| wäre und man nicht durch 0 teilen darf?

Hier findest du meine diesbezügliche Antwort:
https://www.mathelounge.de/350776/das-h-lasst-sich-bei-der-h-methode-nicht-wegkurzen------------------------------------------------------------------------------------------------------------Differenzierbarkeit hat mit Umkehrbarkeit nur insofern etwas zu tun, dass streng monotone Funktionen umkehrbar sind und über einem Intervall differenzierbare Funktion streng monoton sind, wenn die Ableitung ein konstantes Vorzeichen hat.
Gruß Wolfgang