Umkehrbarkeit von mehrdimensionalen Funktionen

Question

Ich habe eine Frage zum umkehrsatz. Wenn man einen Punkt in die jacobimatrix einsetzt, und dann die determinante ausrechnet:

Ist f dann um Punkte, bei denen die determinante Null ist nicht invertierbar oder lässt sich dann keine Aussage treffen? Habe in Lösungen widersprüchliches gefunden.

MfG

Comments

Formuliere die Sache doch mal im eindimensionalen Fall.

---

Ah, also ist dann nicht invertierbar?

---

Wie hast Du das erschlossen?

---

War eine frage

---

Hab mein Abi in NRW gemacht

---

Und? Interessanter ist die Frage, ob Du den Satz von der Umkehrfunktion in 1D formulieren kannst.

---

Achso, ich dachte dein "wie hast du das erschlossen?" war ironisch gemeint.

Wenn ich mir den umkehrsatz angucke, würd ich sagen, es folgt keine Aussage darüber ob die umkehrfunktion existiert. Falls sie existiert, ist sie jedoch auf jeden Fall nicht differenzierbar.

Richtig?

Answer 1

Wie gesagt, setze \(n = 1\) im Satz ueber die Umkehrabbildung. Dann betrachte als einfaches Beispiel \(x\mapsto f(x)=x^3\). Kann man die Funktion in einer Umgebung von \(x=0\) umkehren? Was sagt der Satz dazu?

Comments

  y  =  x  ³  ist allzu billig .  ( siehe mein Gegenbeispiel )  Denn wenn du die Umkehrfunktion  x  =  f ^ -  1  (  y  )  bildest, existiert diese zwar ( global )  , ist aber in dem kritischen Punkt nicht differenzierbar.  Und das ist eine der wesentlichen Aussagen des  IFT  .

---

Dein Gegenbeispiel passt dafuer nicht. Es geht ja um Funktionen von \(\mathbb{R}^n\) nach \(\mathbb{R}^n\). Deine geht von \(\mathbb{R}^2\) nach \(\mathbb{R}\). Um meine Funktion umzukehren, musst Du die Gleichung \(y=x^3\) nach \(x\) aufloesen. Das fuehrt man natuerlich mit \(x^3-y=0\) auf den Satz ueber implizite Funktionen zurueck. Nur wird dabei aus dem \(y\) nie ein \(y^3\), weshalb eben Dein Beispiel nicht passt.

Im Uebrigen ist das sogar Definitionssache. Was genau bedeutet "lokal umkehrbar"? Wenn das "lokal ein Diffeomorphismus" heissen soll, besteht sogar die fragliche Aequivalenz:

https://www3.mathematik.tu-darmstadt.de/evs/e/32.html?evsver=682&evsdir=438&evsfile=ana2d.pdf

Das ist da Definition XI.2.4 und Theorem XI.2.5

---

Zu dem Beispiel f(x) =x^3 :

Da würde das, was ich gesagt hab ja sinn machen. Es gibt eine umkehrfunktion, nämlich f(x) = x^{1/3}, diese ist jedoch in 0 nicht diffbar, da f'(x) = 1/(3x^{2/3}) in Null nicht definiert ist.

---

Jo. Eine Funktion \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) kann auch in der Umgebung eines Punktes \(\xi\) mit \(\det f'(\xi)=0\) umkehrbar sein. Die Umkehrfunktion ist dann aber im Punkt \(f(\xi)\) sicher nicht mehr differenzierbar. Denn wenn es doch so waere, koenntest Du die Identitaet \(f^{-1}(f(x))=x\) mit der Kettenregel ableiten und auf beiden Seiten die Determinaten bilden. Ergebnis \(0=1\) für \(x=\xi\).

Answer 2

  Ganz entscheidend wichtig  .    Was du hiern ansprichst,  ist ein  "  Hauptsatz  "  der Analysis -  schau mal in Wiki  .  Das  IMPLIZITE  FUNKTIONENTEOREM  ( IFT ) .

      Die Voraussetzungen des  IFT  sind hinreichend, jedoch nicht notwendig . Ein ganz einfaches Gegenbeispiel

    F  (  x  ;  y  )  :=  x   ³  +  y  ³  =  0       (  1  )

 

         offensichtlich eine " verkleidete  "  Darstellung der fallenden  WH  .   Als  "  Funktionskeim  "    ,  wie ich das nenne,  nehmen wir den Ursprung  (  0  |  0  )

      F_y  (  Keim  )  =  3  y  ²  =  0         (  2  )

         Genau so patologisch wie Darstellung  (  1  )   Aber es macht nichts;  es folgt ja keine Aussage .

Comments

Aus der Antwort werd ich leider gar nicht schlau, es geht doch darum  ob die jacobideterminante ungleich Null ist.

---

  In diesem Fall hast du ein F und ein y .  Der Determinante entspricht y selber .  Ich habe ein Beispiel angegeben, wo y = 0 und die Abbildung trotzdem umkehrbar ist .